Dạng 4: Xác định ly độ của vật sau thời gian ∆t

Với bài học này, học sinh sẽ được củng cố các kiến thức về:

• Xác định ly độ của vật.
• Nắm và vận dụng các công thức xác định vị trí.
• Biết được các trường hợp đặc biệt khi xác định vị trí của vật tại thời điểm ∆t.
• Xác định vị trí của vật dao động điều hòa tại một thời điểm cho trước.

Dạng bài toán Xác đinh ly độ của vật sau thời gian ∆t là dạng toán mà các đề thi thường hay hỏi. Chúng ta không chỉ học trong bài Dao động điều hòa mà các chương sau chúng ta vẫn sẽ gặp lại dạng toán này.

Một vật DĐĐH với phương trình: \(x = A.cos(\omega t + \varphi )\). Tại thời điểm t₁ vật có li độ x₁, sau đó ∆t ⇒ vật có x₂?
Tại \(t_1 \Rightarrow x_1 = A.cos(\omega t_1 + \varphi )\)
Tại \(t_2 = t_1 + \Delta t \Rightarrow x_2 = A.cos(\omega t_2 + \varphi )\)
\(\Rightarrow x_2 = A.cos [\omega (t_1 + \Delta t) + \varphi ]\)
      \(x_2 = A.cos (\omega t_1 + \varphi + \omega .\Delta t)\)
      \(x_2 = A.[cos (\omega t_1 + \varphi)cos (\omega .\Delta t) - sin (\omega t_1 + \varphi) sin (\omega .\Delta t)]\)
\(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{1 - cos^2(\omega t_1 + \varphi )}.sin(\omega.\Delta t)\)
\(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{1-\left ( \frac{x_1}{A} \right )^2}sin(\omega . \Delta t)\)
Vậy \(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{A^2 - x_{1}^{2}}.sin(\omega . \Delta t)\)
Lấy dấu:
(+) nếu v₁ > 0
(-) nếu v₁ < 0

* Các trường hợp đặc biệt
\(1/\left\{\begin{matrix} \Delta t = K.T\\ K\in Z \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Rightarrow x_2 = x_1\)
\(2/\left\{\begin{matrix} \Delta t = \left ( K + \frac{1}{2} \right )T = \left ( 2K + 1 \right ) \frac{T}{2}\\ K \in Z \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow x_2 = -x_1\)
\(3/\left\{\begin{matrix} \Delta t = \left ( K + \frac{1}{2} \right ) \frac{T}{2} = \left ( 2K + 1 \right ) \frac{T}{4}\\ K \in Z \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right.\)
\(\omega .\Delta t = \frac{2 \pi}{T}(2K + 1)\frac{T}{4} = (2K + 1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{A^2 - x_{1}^{2}} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = A^2\)

VD1: Một vật dao động với phương trình:\(x = 7.cos4\pi t\)(cm).
a. Tại thời điểm t₁ vật có x₁ = 3 cm và đang ra xa VTCB.
a₁.Tìm x₂ sau đó 2s?
a₂. Tìm x₂ trước đó 3,25s?
a₃. Tìm x₂ sau đó 5,3s?
b. Tại thời điểm t₁ vật có x₁ = 2 cm. Tìm x₂ sau đó s?
Giải:
a.
\(\left\{\begin{matrix} x_1 = 2\ cm\\ v_1 > 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)

a₁.
\(T = \frac{2\pi}{\omega }= \frac{1}{2}s \Rightarrow \frac{\Delta t}{T} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \Rightarrow x_2 = x_1 = 3\ cm\)
a₂.
\(\frac{\Delta t}{T} = \frac{3,25}{\frac{1}{2}} = 6,5 \Rightarrow x_2 = -x_1 = -3\ cm\)
a₃.
\(x_2 = 3.cos(4 \pi.5,3) + \sqrt{7^2 - 3^2}.sin(4 \pi .5,3) = \ ?\)
b.
\(\frac{\Delta t}{T}=\frac{\frac{33}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{33}{4} \Rightarrow x_{2}^{2} + x_{1}^{2} = A^2 \Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{7^2 - 2^2}\Rightarrow x_2 = \pm 3\sqrt{5}(cm)\)

VD2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t vật cách vị trí gốc tọa độ 5 cm, sau đó \(2015.\frac{T}{4}\) vật có tốc độ 50 cm/s. Tìm tần số của vật?
Giải:
\(t_1.|x_1| = 5\ cm\)
\(\left\{\begin{matrix} t_2 = t_1 + \Delta t \Rightarrow |v_2| = 50\ cm/s\\ \Delta t = 2015.\frac{T}{4} \hspace{3,1cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow f = \ ?\)
\(\Delta t = 2015.\frac{T}{4} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = A^2 \ \ \ (1)\)
Ta có: \(A^2 = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2} \ \ \ (2)\)
Từ (1) \(\Rightarrow x_{2}^{2} = A^2 - x_{1}^{2}\) thay vào (2)
\(\\ \Rightarrow A^2 = A^2 - x_{1}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\\ \Rightarrow |x_1| = \bigg |\frac{v_2}{\omega } \bigg | \\ \Rightarrow \omega = \bigg |\frac{v_2}{x_1} \bigg | = 10 \frac{rad}{s}\\ \Rightarrow f = \frac{a}{2 \pi} = \frac{5}{\pi}(Hz)\)