Dạng 2: Áp dụng công thức độc lập với thời gian

Thông qua bài học các em sử dụng các công thức độc lập thời gian để giải các bài toán liên quan và tìm các đại lượng trong dao động điều hòa

Ở bài trước, chúng ta tìm hiểu cách xác định các đại lượng và trạng thái của vật dao động điều hòa. Và bây giờ chúng ta tiếp tục tìm hiểu dạng bài tiếp theo của Dao động điều hòa, đó là Áp dụng công thức độc lập với thời gian.

Ta có:
\(\cdot \ \left ( \frac{x}{A} \right )^2 + \left ( \frac{v}{v_{max}} \right )^2 = 1\)
Với \(v_{max} = \omega A \Rightarrow A^2 = x^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2\) suy ra:
+ \(x = \pm \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
+ \(v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}\)
\(\cdot \ \left ( \frac{a}{a_{max}} \right )^2 + \left ( \frac{v}{v_{max}} \right )^2 =1\)
Với \(a_{max} = \omega ^2A; v_{max} = \omega A\)
\(\Rightarrow A^2 = \left ( \frac{a}{\omega ^2} \right )^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2\)
\(\Leftrightarrow A^2 = \frac{a^2}{\omega ^4} + \frac{v^2}{\omega ^2}\)
· F_hp cùng pha với gia tốc a \(\Rightarrow F_{hp} \perp v\)
\(\left ( \frac{F_{hp}}{F_{hp\ max}} \right )^2 + \left ( \frac{v}{v_{max}} \right )^2 = 1\)
Với \(\left\{\begin{matrix} \left | F_{hp} \right | = m\omega ^2 \left | x \right | \ \ \ \ \\ \left | F_{hp} \right |_{max} = m\omega ^2 .A \end{matrix}\right.\)
* Xét 1 vật DĐĐH với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t₁ vật có tọa độ x₁, v₁. Tại thời điểm t₂ vật có tọa độ x₂, v₂. Tìm A, \(\omega\)?
Ta có: \(A^2 = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\)
\(\Rightarrow x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2} - \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = \frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{\omega ^2}\)
\(\Rightarrow \omega ^2 = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}\) ⇒ Thay vào biểu thức \(A^2 = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} \Rightarrow A\)
* Xét vật DĐĐH với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t₁ vật có a₁, v₁. Tại thời điểm t₂ vật có tọa độ a₂, v₂. Tìm A, \(\omega\)?
Ta có: \(A^2 = \frac{a_{1}^{2}}{\omega ^4} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = \frac{a_{2}^{2}}{\omega ^4} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\)
\(\Rightarrow \omega ^2 = \frac{a_{2}^{2} - a_{1}^{2}}{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}} \Rightarrow A\)

VD1: Cho dao động \(x = 5.cos(4 \pi t + \frac{\pi}{12}) (cm)\)
a. Tìm x khi \(v = -12 \pi \left ( \frac{cm}{s} \right )\)?
b. Tìm a khi \(v = 16 \pi \left ( \frac{cm}{s} \right )\)?
c. Tìm v khi \(x = 2,5\sqrt{3}(cm)\)?
d. Cho m = 100g. Tìm |F_KV| khi \(v = 10 \sqrt{3} \pi \left ( \frac{cm}{s} \right )\)?
Giải:
a.
\(A^2 = x^2 + \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2\)
\(\Rightarrow x = \pm \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
\(\Rightarrow x = \pm \sqrt{5^2 - \left ( \frac{-12 \pi}{4 \pi } \right )^2} = \pm 4 (cm)\)
b.
\(A^2 = \frac{a^2}{\omega ^4} + \frac{v^2}{\omega ^2} \Rightarrow a = \pm \omega ^2 \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2}\)
\(\Rightarrow a = \pm (4 \pi )^2.\sqrt{5^2 - \left ( \frac{16 \pi}{4\pi} \right )^2} = \pm 48 \pi ^2\ \frac{cm}{s^2}\)
c.

\(v = \pm \omega .\sqrt{A^2 - x^2}\)
\(\rightarrow v = \pm 4\pi .\sqrt{5^2 - (2,5\sqrt{3})^2} = \pm 10 \pi\ \frac{cm}{s}\)
d.
\(|F_{KV}| = m\omega ^2|x|\)
Khi \(v = 10 \sqrt{3} \pi \left ( \frac{cm}{s} \right ) \Rightarrow \left | x \right | = \sqrt{A^2 - \left ( \frac{v}{\omega } \right )^2} = 2,5(cm)\)
Với \(\left\{\begin{matrix} m = 100g = 0,1 kg\hspace{1,3cm} \\ \omega ^2 = (4 \pi)^2 = 16\pi \hspace{1,5cm} \\ \left | x \right | = 2,5 (cm) = 0,025 (m) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left | F_{KV} \right | = m.\omega ^2.\left | x \right | = 0,04. \pi ^2 (N)\)

VD2: Một vậy dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t₁ vật có x₁ = 8 cm và v₁ = 12\(\pi\) cm/s; tại thời điểm t₂ vật có x₂ = -6 cm và v₂ = -16\(\pi\) cm/s. Tìm A, \(\omega\)?
Giải:
Ta có: \(A^2 = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega ^2} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\)
\(\omega ^2 = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} = \frac{(-16\pi )^2 - (12 \pi )^2}{8^2 - (-6)^2} = 4\pi ^2\)
\(\Rightarrow \omega = 2\pi (\frac{rad}{s})\)
\(\Rightarrow A = \sqrt{8^2 + \left ( \frac{12\pi }{2\pi} \right )^2} = 10(cm)\)