Dạng 1: Biến đổi chu kỳ, tần số con lắc đơn dao động điều hòa

Từ công thức tính tần số góc của con lắc đơn dao động điều hòa, học sinh có thể biết thêm công thức tìm chu kì và tần số. Nắm được mối quan hệ, sự phụ thuộc của chu kì, tần số với các đại lượng khác. Ngoài ra, giáo viên còn hướng dẫn các em một số mẹo nhớ nhanh công thức, nắm được phương pháp biến đổi, kĩ thuật biến đổi chu kì và tần số. Qua bài học này, các em thể vận dụng lý thuyết đã học để áp dụng giải các bài tập về biến đổi chu kì, tần số con lắc đơn dao động điều hòa và có phương pháp giải nhanh các dạng bài tập đó.

Hôm nay chúng ta học dạng 1 của bài con lắc đơn, dạng số 1 có tên Biến đổi chu kỳ tần số của con lắc đơn dao động điều hòa. Về lý thuyết của con lắc đơn, con lắc đơn có 2 dạng: dao động điều hòa và dao động tuần hoàn, hai dao động này đều bỏ qua lực cản (lực ma sát). Nhưng dao động điều hòa khi đó biên độ góc của con lắc đơn phải bé hơn hoặc bằng 10⁰ → trường hợp này gọi là dao động bé con lắc đơn. Ở phần dao động bé con lắc đơn có công thức tính chu kỳ và tần số của dao động con lắc đơn trong trường hợp này chính là dao động điều hòa

* Tần số góc:
\(\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\)    (g: m/s²; ℓ: m)
Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
Tần số: \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}}\)

• Từ \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \Rightarrow T^2 = (2 \pi)^2. \frac{\ell}{g}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{gT^2}{(2 \pi)^2} \Rightarrow \ell \sim T^2\\ g = \frac{(2 \pi)^2. \ell}{T^2} \Rightarrow g \sim \frac{1}{T^2} \end{matrix}\right.\)
\(\cdot \ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2} .\frac{g}{\ell}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} \Rightarrow \ell \sim \frac{1}{f^2} \ \ \ \ \\ g = \ell.(2 \pi)^2.f^2 \Rightarrow g \sim f^2 \end{matrix}\right.\)
Nhận xét: Đối với con lắc đơn dao động điều hòa
(1) \(T, f \in g, \ell \Rightarrow T, f \in\) Vị trí địa lý và nhiệt độ
     \(T, f \notin m, A\)
(2) \(T \sim \sqrt{\ell}\) và \(\frac{1}{\sqrt{g}} \Rightarrow T^2 \sim \ell\) và \(\frac{1}{g}\)
(3) \(T \sim \frac{1}{\sqrt{\ell}}\) và \(\sqrt{g} \Rightarrow f^2 \sim \frac{1}{f}\) và g

VD1: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ₁, ℓ₂ dao động với tần số f₁, f₂ tương ứng. Tìm tần số của con lắc đơn có chiều dài ℓ tại đó với:
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2}\)
Giải:
Ta có \(f = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{g}{\ell}} \Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2}.\frac{g}{\ell}\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{g}{(2 \pi)^2 . f^2}\)
a/ \(\ell = \ell _1 + \ell _2 \Rightarrow \frac{g}{(2 \pi)^2.f^2} = \frac{g}{(2\pi)^2.f_{1}^2} + \frac{g}{(2\pi)^2.f_{2}^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{f^2} = \frac{1}{f_{1}^{2}} + \frac{1}{f_{2}^{2}} = \Rightarrow f = \frac{f_1.f_2}{\sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}\)
b/ \(2\ell = 3\ell _1 - \ell _2 \Rightarrow \frac{2}{f^2} = \frac{3}{f_{1}^{2}} - \frac{1}{f_{2}^{2}} \Rightarrow f = \ ?\)
c/ \(\frac{2}{\ell }= \frac{4}{\ell } + \frac{5}{\ell _2} \Rightarrow 2f^2 = 4f_{1}^{2} + 5f_{2}^{2} \Rightarrow f = \ ?\)
Tổng quát:
\(x.\ell = y.\ell _1 \pm z.\ell _2\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x.T^2 = y.T_{1}^{2} \pm z.T_{2}^{2}\\ \frac{x}{f^2} = \frac{y}{f_{1}^{2}} \pm \frac{z}{f_{2}^{2}} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\)

VD2: Tại cùng một nơi trên mặt đất, hai con lắc đơn có chiều dài ℓ₁, ℓ₂ dao động với tần số T₁, T₂. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiện 18 dao động; con lắc thứ hai thực hiên được 24 dao động. Tìm  ℓ₁, ℓ₂ biết tổng của chúng bằng 2m?
Giải:
\(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}}; T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}\)
Ta có:
\(\cdot \ \ell _1 + \ell _2 = 2m = 200 \ (cm) \ (1)\)
\(\left.\begin{matrix} \cdot \ T_1 = \frac{\Delta t}{n_1}\\ \cdot \ T_2 = \frac{\Delta t}{n_2} \end{matrix}\right\} \Delta t = n_1.T_1 = n_2.T_2\)\(\Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow \sqrt{\frac{\ell _1}{\ell_2}} = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell _1}{\ell_2} = \left ( \frac{24}{18} \right )^2=\frac{16}{9}\ (2)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \ell _1 = 128 \ (cm)\\ \ell _2 = 72\ (cm) \end{matrix}\right.\)

VD3: Nếu tăng chiều dài của một con lắc đơn thêm 44 cm thì chu kỳ của nó tăng 20%. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc này?
Giải:
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \ (1)\)
\(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}} \Rightarrow T + 0,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell '}{g}}\)
\(\Rightarrow 1,2T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{g}} \ (2)\)
Lấy \(\frac{(2)}{(1)} \Rightarrow \frac{1,2T}{T} = \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{\ell}}\)
\(\Rightarrow \frac{\ell + \Delta \ell }{\ell} = 1,2^2 = 1,44\)
\(\Rightarrow \ell = \frac{\Delta \ell }{0,44} = \frac{44}{0,44} = 100 \ (cm)\)