Dạng 2: Cho công suất, tìm R, L, C hoặc ω

Hôm nay chúng ta nghiên cứu về dạng 2: Cho công suất tìm R, L, C hoặc \(\omega\). Trong bài học trước chúng ta đã học về dạng 1 - đó là bài toán áp dụng công thức để tìm công suất; bây giờ cho công suất, yêu cầu tìm ngược lại. Thực ra đây là bài toán ngược và ngược có cái hay của ngược. Chúng ta hãy cùng tìm hiểu. 

Ta có: \(P = RI^2 = R. \frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2}\)

\(\Rightarrow R^2 + (Z_L - Z_C)^2 = \frac{U^2}{P}.R\)
\(\Rightarrow R^2 - \frac{U^2}{P}.R + (Z_L - Z_C)^2 = 0 \ (*)\)
Giải (*) ⇒ Kết quả
* Chú ý:
(1) Khi thay đổi R thấy có 2 giá trị R₁, R₂ thì mạch tiêu thụ cùng công suất ⇒ R₁, R₂ là nghiệm của phương trình (*).
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} R_1 + R_2 = -\frac{b}{a} = \frac{U^2}{P}\\ R_1.R_2 = (Z_L - Z_C)^2 \end{matrix}\right.\)
(2) Phương trình (*) \(\Leftrightarrow R^2 - \frac{U^2}{P}R + Z_{L}^{2} - 2Z_{L}Z_{C} + Z_{C}^{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow Z_{L}^{2} - 2Z_{L}Z_{C} + Z_{C}^{2} + R^2 - \frac{U^2}{P}R = 0 \ (**)\)
• Khi thay đổi L thấy có 2 giá trị L₁, L₂ thì mạch tiêu thụ cùng công suất ⇒ \(Z_{L_{1}},\ Z_{L_{2}}\) là nghiệm của phương trình (**)
\(\Rightarrow Z_{L_{1}} + Z_{L_{2}} = 2Z_C\)
• Khi thay đổi C thấy có 2 giá trị C₁, C₂ thì mạch tiêu thụ cùng công suất ⇒ \(Z_{C_{1}},\ Z_{C_{2}}\) là nghiệm của phương trình (**)
\(\Rightarrow Z_{C_{1}} + Z_{C_{2}} = 2Z_L\)

VD1: Đặt điện áp \(u = 120\sqrt{2}\cos 100 \pi t\) (V) vào hai đầu mạch RLC có \(L = \frac{2}{5\pi }\ (H);\ C = \frac{10^{-3}}{8 \pi } F\) thì P = 144 W. Tìm R, I, cos \(\varphi\)?
Giải:
\(R^2 - \frac{U^2}{P}.R + (Z_L - Z_C)^2 = 0\)
\(Z_L = L\omega =\frac{2}{5\pi }.100\pi = 40\ \Omega\)
\(Z_C = \frac{1}{C\omega} =\frac{1}{\frac{10^{-3}}{8\pi }.100\pi } = 80\ \Omega\)
\(\Rightarrow R^2 - \frac{120^2}{144}.R + (40-80)^2 = 0 \Rightarrow \bigg\lbrack \begin{matrix} R = 20\ \Omega \\ R = 80\ \Omega \end{matrix}\)
• Với \(R = 20\ \Omega \Rightarrow \left\{\begin{matrix} I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{144}{20}} = \frac{6}{\sqrt{5}}\ (A) \ \ \ \ \\ \cos \varphi = \sqrt{\frac{RP}{U^2}} = \sqrt{\frac{20.144}{120^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{matrix}\right.\)

• Với \(R = 80\ \Omega \Rightarrow \left\{\begin{matrix} I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \sqrt{\frac{144}{80}} = \frac{3}{\sqrt{5}}\ (A) \ \ \ \ \\ \cos \varphi = \sqrt{\frac{RP}{U^2}} = \sqrt{\frac{80.144}{120^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}\right.\)

VD2: Đặt điện áp \(u = 130\sqrt{2}\cos (100 \pi t - \frac{\pi }{4})\) (V) vào 2 đầu mạch RLC nối tiếp có \(R = 40\ \Omega ,\ L = \frac{3}{5\pi }\ H\)thì P = 130 W. Tìm C, I, cos \(\varphi\)?
Giải:
\(Z_L = L\omega = \frac{3}{5\pi }.100 \pi = 60\ \Omega\)
Ta có: \(40^2 - \frac{130^2}{130}.40 + (60 - Z+C)^2 = 0 \Rightarrow |60 - Z+C| = 60\)
\(\Rightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} Z_C = 120 \ \ \ \ \ \\ Z_C = 0 \ (loai) \end{matrix}\)
\(\rightarrow C = \frac{10^{-3}}{1,2\pi}F \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \cos \varphi = \sqrt{\frac{PR}{U^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}\\ I = \sqrt{\frac{P}{R}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)