Dạng 2: Biến đổi chu kỳ, tần số con lắc lò xo

Dạng số 2 của bài con lắc lò xo là Biến đổi chu kỳ, tần số con lắc lò xo, ở đây chúng ta xét ở dao động điều hòa.

* Tần số góc:
$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}; k\ (N/m), m \ (kg)$
Chu kỳ: $T = \frac{2 \pi}{\omega } = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Tần số: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi}.\sqrt{\frac{k}{m}}$
Ta có: $T = 2 \pi\sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow T^2 = (2 \pi)^2 .\frac{m}{k}$
$\rightarrow m = \frac{k.T^2}{(2 \pi)^2} \Rightarrow T^2 \sim m \Rightarrow T \sim \sqrt{m}$
$\rightarrow k = \frac{m.(2 \pi)^2}{T^2} \Rightarrow T^2 \sim \frac{1}{k} \Rightarrow T \sim \frac{1}{\sqrt{k}}$
$\rightarrow m = \frac{k}{(2\pi)^2.f^2} \Rightarrow f^2 \sim \frac{1}{m} \Rightarrow f \sim \frac{1}{\sqrt{m}}$
$\rightarrow k = m.(2 \pi)^2 . f^2 \Rightarrow f^2 \sim k \Rightarrow f \sim \sqrt{k}$
Nhận xét:
$(1)\ T \sim \sqrt{m}$ và $\frac{1}{\sqrt{k}} \Rightarrow T^2 \sim m$ và $\frac{1}{k}$
$(2) \ f \sim \frac{1}{\sqrt{m}}$ và $\sqrt{k} \Rightarrow f^2 \sim \frac{1}{m}$ và k
$(3) \ T, f \notin g, A$

VD1: Gắn lần lượt 2 vật m₁, m₂ vào một lò xo có độ cứng k thì chu kỳ tương ứng là T₁ = 3s và T₂ = 4s. Tìm chu kỳ của con lắc lò xo khi gắn vật m vào lò xo trên với:
a/ m = m₁ + m₂ (1)
b/ $\frac{1}{m} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$
Giải:
Ta có: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} m = \frac{kT^2}{(2\pi)^2}\\ \frac{1}{m} = \frac{(2\pi)^2}{kT^2} \end{matrix}\right.$
a/ Từ (1) $\Rightarrow \frac{kT^2}{(2 \pi )^2} = \frac{kT_{1}^{2}}{(2 \pi )^2} + \frac{kT_{2}^{2}}{(2 \pi )^2}\Rightarrow T^2 = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} \Rightarrow T = 5s$
b/ $\frac{1}{m} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \Rightarrow \frac{1}{T^2} + \frac{1}{T_{1}^{2}} + \frac{1}{T_{2}^{2}} \Rightarrow T = 2,4s$

VD2: Gắn vật có khối lượng m lần lượt vào 2 lò xo có độ cứng k₁, k₂ tạo thành 2 con lắc lò xo có tần số f₁ = 0,6 Hz và f₂ = 0,8 Hz. Tìm tần số con lắc lò xo khi gắn vật m nói trên vào lò xo k với:
a/ k gồm k₁ ssong song k₂
b/ k gồm k₁ nối tiếp k₂
Giải:
a/ $k_1 // k_2 \Rightarrow k_{//} = k_1 + k_2 \Rightarrow f_{//}^{2} = f_{1}^{2} + f_{2}^{2} \Rightarrow f = 1 Hz$
b/ $k_1 \ nt \ k_2 \Rightarrow \frac{1}{k_{nt}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \Rightarrow \frac{1}{f_{nt}^{2}} = \frac{1}{f_{1}^{2}} + \frac{1}{f_{2}^{2}} \Rightarrow f = 0,48 Hz$

VD3: Nếu tăng thêm khối lượng vật nặng của con lắc lò xo 44g thì chu kỳ ủa nó tăng 20%. Tìm khối lượng ban đầu của vật?
Giải:
$\left.\begin{matrix} T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\\ T' = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}} \end{matrix}\right\} \Rightarrow \frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m'}{k}}}$
$\Rightarrow \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{m'}{m}} \Rightarrow \sqrt{\frac{m + 44}{m}} = \frac{T + \frac{20}{100}T}{T}$
$\Rightarrow \frac{m + 44}{m} = 1,44 \Rightarrow m = 100g$