Bài 9: Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số

1. Lý thuyết 

a) M được gọi là GTLN f(x) trên D nếu
\(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\)
m=GTNN f(x) nếu  \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\)
 

b) Bài toán 1

Tìm GTLN, NN trên D

+ Lập BBT trên D

+ Từ BBT suy ra KL

 Bài toán 2
Tìm GTLN, NN trên [a;b]
+ Tìm nghiệm f'(x) =0 trên [a;b] giả sử x₁, x_{2
\(\begin{matrix} GTLN f(x) = GTLN f(x) \\ [a;b] \ \ \ \ \ \ [a;b] \end{matrix}\left\{\begin{matrix} f(a), f(b), f(x_1)...f(x_n) \\ \end{matrix}\right.\)
\(\begin{matrix} GTNN f(x) = GTNN f(x) \\ [a;b] \ \ \ \ \ \ [a;b] \end{matrix}\left\{\begin{matrix} f(a), f(b), f(x_1)...f(x_n) \\ \end{matrix}\right.\)}
2. Bài tập
VD1: Tìm GTLN, NN của \(f(x)=x^3-3x\)  trên [-2;3]
Giải
\(f'(x)=3x^2-3\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ x=-1 \end{matrix}\)

f(-2) = -2

f(1) = -1

f(3) = 18

f(-1) = 2
\(\underset{[-2;3]}{GTLN} f(x) = 18\) khi x= 3
\(\underset{[-2;3]}{GTNN} f(x) = -2 \ khi \ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-2\\ x=1 \end{matrix}\)
 

VD2: Tìm GTNN của \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) trên \([2;+\infty )\)
Giải
\(f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\notin [2;+\infty )\\ x=-1\notin [2;+\infty ) \end{matrix}\)

\(\underset{[2;+\infty ]}{GTNN} f(x) = \frac{5}{2} \ khi \ x = 2\)
VD3: Tìm GTLN của \(f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)
TXĐ: [0;2]
\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x=1\)
\(f(0)=\sqrt{2}\)
\(f(x)=\sqrt{2}\)
\(f(1)=\sqrt{2}\)
\(\underset{[0;2]}{GTLN}f(x)=2 \ khi \ x=1\)
\(\underset{[0;2]}{GTLN}f(x)=\sqrt{2} \ khi \ \left\{\begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}\right.\)
VD4: Tìm GTNN của hàm số \(f(x)=sin^3x-3sin^2x\)
Giải
Đặt t = sinx \(t \in [-1;1]\)
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của
\(g(t)=t^3-3t^2\) trên [-1;1]
\(g'(t)=3t^2-6t\)
\(g'(t)=0\Leftrightarrow 3t(t-2)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=0\\ t=2\notin [-1;1] \end{matrix}\)
g(0) = 0
g(-1) = -4, g(1) =-2
\(\underset{[-1;1]}{GTLN}g(t)=0 \ khi \ t=0\)
\(\Leftrightarrow sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi (k\in z)\)
\(\underset{[-1;1]}{GTNN}g(t)=-4 \ khi \ t =1\)
\(\Leftrightarrow sinx=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
KL: GTLN f(x) = 0 khi  \(x=k\pi\)
GTNN f(x) = -4 khi \(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
VD5: Tìm GTLN của hàm số \(f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\)
Giải
\(f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{2x(x+3)}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\)
\(=\frac{x^2+1-x^2-3x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\frac{1-3x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow 1-3x=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)


\(GTLN f(x)=\sqrt{10} \ khi \ x = \frac{1}{3}\)
Khai thác bt: 
\(\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\leq \sqrt{10}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{10}}(x+3)\leq \sqrt{x^2+1}\)
BT cho x + y + z = 1. Tìm \(GTNN T=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\)