Bài 4: Phương trình mũ - Phương pháp đặt ẩn phụ

I. Lý thuyết

1. \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)
Ta có 
\(a.t^2+b.t+c=0\)

2. \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\)
trong đó m.n  =1
Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)
Ta có
\(a.\frac{1}{t}+b.t+c=0\)
\(a+b.t^2+c.t=0\)
\(b.t^2+ct+a=0\)

3. \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)
Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có
\(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)
đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)
ta có \(a.t^2+b.t^2+c=0\)

Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 
+ Xem ẩn đầu là tham số
+ Đưa về phương trình tích
+ Đưa về hệ phương trình
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
+ Đưa về phương trình tích
+ Đưa về hệ phương trình

VD1: Giải phương trình
 \(4^x-3.2^x+2=0\)
Giải
Đặt \(t=2^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t>0\)
Phương trình trở thành
\(t^2-t-2=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=-1 \ \ (loai)\\ t=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Với t  = 2, ta có \(2^x=2\Leftrightarrow x=1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là {1}

VD2: Giải phương trình
\(2^{1-2x}-3.2^{-x}+1=0\)

Giải

\(pt\Leftrightarrow 2.2^{-2x}-3.2^{-x}+1=0\)
Đặt \(t=2^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t>0\)
Phương trình trở thành
\(2.t^2-3t+1=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=\frac{1}{2} \end{matrix}\)
Với t = 1, \(2^{-x}=1\Leftrightarrow -x=0\Leftrightarrow x=0\)
Với \(t=\frac{1}{2}, \ \ 2^{-x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow -x=-1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy tập nghiệm phương trình là {0;1}

VD3: Giải phương trình
\(2.4^\frac{1}{x}+6^\frac{1}{x}=9^\frac{1}{x}\)

Giải

ĐK \(x\neq 0\)
Chia 2 vế cho \(9^\frac{1}{x}\) ta có
\(2.\left ( \frac{4}{9} \right )^\frac{1}{x}+\left ( \frac{6}{9} \right )^\frac{1}{x}=1\)
\(\Leftrightarrow 2.\left ( \frac{4}{9} \right )^\frac{1}{x}+\left ( \frac{2}{3} \right )^\frac{1}{x}-1=0\)
Đặt \(t=\left ( \frac{2}{3} \right )^\frac{1}{x}, t>0\) ta có
\(2t^2+t-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=-1 \ (loai)\\ \\ t=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Với \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x}=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \frac{1}{log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}}= log_\frac{1}{2}\frac{2}{3}\)
VD4: Giải phương trình
\(9^x+2(x-2)3^x+2x-5=0\)
Giải
Đặt \(t=3^x, \ t>0\)
Phương trình trở thành
\(t^2+2(x-2)t+2x-5=0\)
\(\Delta '=(x-2)^2-(2x-5)=x^2-6x+9=(x-3)^2\)
\(\bigg \lbrack\begin{matrix} t=-(x-2)+x-3=-1 (loai)\\ t=-(x-2)-(x-3)=5-2x \ \ \end{matrix}\)
\(t=5-2x\Leftrightarrow 3^x=5-2x\Leftrightarrow 3^2+2x=5\)
\(\begin{matrix} x>1 \ \ 3^x+2x>5\\ x<1 \ \ 3^x+2x<5\\ x=1 \ \ 3^x+2x=5 \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm là {1}

VD5: Giải phương trình
\(8.3^x+3.2^x=24+6^x\)
Giải

Đặt \(a=3^x, \ b=2^x\) ta có 6^x = ab
Phương trình trở thành
\(8a+3.b=24+ab\)
\(\Leftrightarrow 8(a-3)+b(3-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (8-b)(a-3)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} b=8\\ a=3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2^x=8\\ 3^x=3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3\\ x=1 \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm là {1;3}

VD6: Giải phương trình
\(4^{x^2+x}+2^{1-x^2}=2^{(x+1)^2}+1\)
Giải

Đặt \(a=4^{x^2+x}=2^{2x^2+2x}\)
\(b=2^{1-x^2}\)
thì \(2^{(x+1)^2}=ab\)
Phương trình trở thành
a + b = ab +1
\(\Leftrightarrow (a-1)+b(1-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2^{2x^2+2x}=1\\ 2^{1-x^2}=1 \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x^2+2x=0\\ 1-x^2=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=-1\\ x=1 \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm là {0; -1; 1}