Bài 5: Phương trình mũ - Phương pháp hàm số

I. Lý thuyết
1)  \(y=a^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<a \neq 1\)
a > 1: Hàm số đồng biến trên R
a < 1: Hàm số nghịch biến trên R
2) Tổng của hai hàm số đồng biến trên D là hàm số đồng biến trên D.
Tích của hai hàm số đồng biến trên D nhận giá trị dương là hàm số đồng biến trên D.
f(x) đồng biến trên D 
g(x) nghịch biến trên D
⇒ f(x) - g(x) đồng biến trên D.
3)
+ f(x) đồng biến trên D thì phương trình f(x) = m có tối đa 1 nghiệm trên D.
+ f'(x) có tối đa n nghịch biến trên D thì f(x) = 0 có tối đa n + 1 nghịch biến trên D.
+ f đồng biến (nghịch biến) trên D, \(a,b \in D,f(a)=f(b)\)
⇒ a = b
II. Bài tập
VD1: Giải phương trình \(2^x=5-3x\)
Giải
\(Pt \Leftrightarrow 2^x+3x=5\)
x = 1 là 1 nghiệm
x > 1       \(\left.\begin{matrix} 2^x>2\\ 3x>3 \end{matrix}\right\}2^x+3x>5\)
x < 1       \(\left.\begin{matrix} 2^x<2\\ 3x<3 \end{matrix}\right\}2^x+3x<5\)

Vậy tập nghiệm là {1}
VD2: Giải phương trình \(13^x=5^x+12^x\)
Giải

\(pt\Leftrightarrow \left ( \frac{5}{13} \right )^x+\left ( \frac{12}{13} \right )^x=1\)
x = 2 là 1 nghiệm
x > 2 \(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{5}{13} \right )^x< \left ( \frac{5}{13} \right )^2\\ \\ \left ( \frac{12}{13} \right )^x< \left ( \frac{12}{13} \right )^2 \end{matrix}\right\}\left ( \frac{5}{13} \right )^x+ \left ( \frac{12}{13} \right )^2<1\)
x < 2 tương tự ta có \(\left ( \frac{5}{13} \right )^x+ \left ( \frac{12}{13} \right )^2>1\)
Vậy tập nghiệm là {2}
VD3: Giải phương trình \(2^{x+1}-4^x=x-1\)
Giải
x = 1 là 1 nghiệm
x > 1 \(\Rightarrow 2x>x+1 \Rightarrow 2^{2x}>2^{x+1}\Rightarrow 4^x>2^{x+1} \Rightarrow VT<0<VP\)
x < 1: tương tự VT > 0 > VP
Vậy tập nghiệm là {1}
VD4: Giải phương trình \(3^x+5^x=6x+2\)
Giải
Xét \(f(x)=3^x+5^x-6x-2\) trên R
\(f'(x)=3^xln3+5^xln5-6\)
\(f''(x)=3^xln^2 3+5^xln^2 5>0\)
Suy ra f'(x) đồng biến trên R nên f'(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm
Suy ra f(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm
x = 0, x = 1 là nghiệm
Vậy tập nghiệm phương trình là {0; 1}