Bài 1: Logarit

I. Lý Thuyết
1. Logarit
a) ĐN
\(0< a\neq 1,b>0\)
\(log_ab\) là x sao cho \(a^x=b\)
VD: 
\(log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)
\(log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
\(log_23=1\) vì \(3^1=3\)
\(log_a1=0\) vì \(a^0=1\)
\(log_23=x\) vì \(2^x=3\)
b) Tính chất
\(0< a\neq 1\)
1) \(a^{log_ab}=b \ \ \ \ \ b>0\)
2) \(log_aa^x=x \ \ \ \ \ \ \forall x\)
3) \(x_1,x_2>0 \ \ log_a(x_1,x_2)=log_ax_1+log_ax_2\)
Suy ra \(x_1,x_2,..., x_n>0\)
4) \(x_1,x_2>0 \ \ \ log_a\frac{x_1}{x_2}=log_ax_1-log_ax_2\)
5) \(x> 0 \ \ log_a\frac{1}{x}=-log_ax\)
6) \(log_ab=\frac{log_c \ b}{log_c \ a} \ \ 0<c\neq 1,b>0\)
7) \(log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }log_ab \ \ \ \alpha \neq 0, b>0\)
8) \(log_ab^x=xlog_ab \ \ \ b>0\)
9) \(log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }log_ab \ \ \alpha \neq 0,b>0\)
II. Hàm số logarit

a) Là hàm số dạng \(y=log_ax \ \ \ 0< a\neq 1\)
TXĐ: (0;+\(\infty\))
TGT:  R
a > 1: \(y=log_ax\) là hàm số đồng biến trên (0;+\(\infty\))
0 < a < 1: \(y=log_ax\) là hàm số nghịch biến trên (0;+\(\infty\))
x₁, x₂ > 0: \(log_ax_1=log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)
b) Đạo hàm của hàm số logarit
\(\left ( log_ax \right )'=\frac{1}{xlna} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left ( log_au \right )'=\frac{u'}{u.lna}\)
\(\left ( log_a\left | x \right | \right )'=\frac{1}{xlna}\)
\(\left ( lnx \right )'=\frac{1}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ (ln \ u)'=\frac{u'}{u}\)

III. Bài tập
VD1: Rút gọn \(A=log_2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\)
Giải
\(\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^\frac{1}{2}.2^\frac{1}{4}.2^\frac{1}{8}= 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=2^\frac{7}{8}\)
\(A=log_22^\frac{7}{8}=\frac{7}{8}\)
VD2: Cho \(log_{12}27=a\). Tính \(log_616\)
Giải
\(a=log_{12}27=\frac{log_327}{log_312}=\frac{log_33^3}{log_32^2+log_33} =\frac{3}{2log_32+1}\)
\(\Rightarrow 2log_32+1=\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow log_32=\frac{1}{2}(\frac{3}{a}-1)=\frac{3-a}{2a}\)
\(log_616=\frac{log_316}{log_36}=\frac{log_32^4}{log_32+log_33}= \frac{4.log_32}{log_32+1}=\frac{4.\frac{3-a}{2a}}{\frac{3-a}{2a}+1}\)
\(=\frac{4(3-a)}{3+a}\)
VD3: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:
a) \(y=log_3x\)
b) \(y=log_2(4x+1)\)
Giải
a)
\(y'=\frac{1}{x.ln3}\)
b)
\(y'=\frac{(4x+1)'}{(4x+1)ln2}=\frac{4}{(4x+1)ln2}\)

VD4: Cho \(y=ln\frac{1}{x+1}\). CMR: \(xy'+1=e^y\)
Giải
\(y'=\frac{\left ( \frac{1}{x+1} \right )'}{\frac{1}{x+1}}=\frac{-\frac{1}{(x+1)^2}}{\frac{1}{x+1}}=-\frac{1}{x+1}\)
\(xy'+1=-\frac{x}{x+1}+1=\frac{1}{x+1}\)  (1)
\(y=ln\frac{1}{x+1}\Rightarrow e^y=\frac{1}{x+1}\)  (2)
Từ (1) (2) ta có \(xy'+1=e^y\)
VD5: Cho a, b > 0 \(a^2+b^2=7ab, 0<c\neq 1\). CMR: \(log_c\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}(log_c\ a+log_c\ b)\)
Giải
\(a^2+b^2=7ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=9ab\)
\(\Rightarrow (a+b)^2=9ab\)
\(\Rightarrow \left ( \frac{a+b}{3} \right )^2=ab\)
\(log_c\left ( \frac{a+b}{3} \right )^2=log_c(ab)\)
\(\Rightarrow 2.log_c \ \frac{a+b}{3}=log_c \ a+log_c \ b\)
\(\Rightarrow log_c\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}(log_c \ a +log_c \ b)\)