Bài 4: Ứng dụng tính đơn điệu giải bất phương trình

Bài giảng Ứng dụng tính đơn điệu giải bất phương trình sẽ giúp các em nắm được lý thuyết và bài tập để các em củng cố kiến thức.

1. Lý thuyết
Hàm số y = f(x) đồng biến trên R thì f(x) > f(b) ⇒ a > b
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên R thì f(x) > f(b) ⇒ a < b

2. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình  \(3\sqrt{3-2x}+\frac{5}{\sqrt{2x-1}}-2x\leq 6\)
Giải
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 3-2x\geq 0\\ 2x-1> 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq \frac{3}{2}\\ x>\frac{1}{2} \end{matrix}\right .\Rightarrow \frac{1}{2}<x\leq \frac{3}{2}\)
Xét \(f(x)=3\sqrt{3-2x}+\frac{5}{2x-1}-2x-6\) trên \(\bigg(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\bigg ]\)
\(f'(x)=\frac{3(3-2x)'}{2\sqrt{3-2x}}-\frac{5(\sqrt{2x-1})'}{2x-1}-2\)
\(f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{3-2x}}-\frac{5}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}-2<0\)
f(x) nghịch biến trên \(\bigg(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\bigg ]\)
BPT \(\Leftrightarrow f(x)\leq f(1)\)
Vậy tập nghiệm là \(\left [ 1;\frac{3}{2} \right ]\)
VD2: Giải bất phương trình \(\sqrt{x^2+15}>3x-2+\sqrt{x^2+8}\)
Giải
TH1: \(3x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{2}{3}\)
lại có \(\sqrt{x+8}<\sqrt{x^3+15}, \ \forall x\leqslant \frac{2}{3}\)
suy ra \(3x-2+\sqrt{x^2+8}<\sqrt{x^2+15}\)
BPT nghiệm đúng 
TH2: \(x>\frac{2}{3}\)
Xét \(f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2\) trên \((\frac{3}{2};+\infty )\)
\(f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+15}}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+8}}-3\)
\(=x\left (\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}} \right )-3<0\)
f(x) nghịch biến trên \((\frac{3}{2};+\infty )\)
BPT \(f(x)>f(1)=0\)
KL: Tập nghiệm bpt là \((-\infty ;1)\)
VD3: Giải bất phương trình \(8x^3+2x\geq (x+2)\sqrt{x+1}\)
Giải
ĐK: \(x\geq -1\)
BPT \(x\Leftrightarrow 8x^3+2x\geq (x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
Xét \(f(t)= t^3+t\) trên R
\(f'(t)= 3t^2+1>0\Rightarrow f(t)\)
\((1)\Leftrightarrow f(2x)\geq f(\sqrt{x+1})\)
Suy ra \(2x\geq \sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ 2x\geq 0\\ 4x^2\geq x+1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x\geq 0\\ 4x^2-x-1\geq0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x\geq \frac{1+\sqrt{17}}{8}\) (thỏa mãn đk)
KL: Tập nghiệm pt \(\bigg[x\geq \frac{1+\sqrt{17}}{8};+\infty \bigg)\)
VD4: Giải bất phương trình  \((2x+1)(2+\sqrt{4x^2+4x+4})+3x(2+\sqrt{9x^2+3})\leq 0\)
Giải
BPT \(\Leftrightarrow (2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})\leq 3x(2+\sqrt{(-3x)^2+3})\) (1)
Xét \(f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3})\) trên R

\(f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+t.\frac{2t}{2\sqrt{t^2+3}}\)
\(f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}}>0\)
f(t) đồng biến trên R
\((1)\Leftrightarrow f(2x+1)\leq f(-3x)\)
Suy ra \(2x+1\leq -3x\)
\(\Leftrightarrow 5x\leq -1\)
\(\Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm bpt là \(\bigg(+\infty ; -\frac{1}{5} \bigg]\)