Bài 6: Ôn tập, nâng cao

I. Các dạng đồ thị

1. Đồ thị hàm số bậc ba
$y=ax^3+bx^2+cx+d \ \ (a\neq 0)$
$y'=3ax^2+2bx+c$
* a > 0

Đặc biệt:

* a < 0


Đặc biệt

Nhận xét: 
1) Đồ thị hàm bậc ba$y=ax^3+bx^2+cx+d \ \ (a\neq 0)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi $\left\{\begin{matrix} \Delta y'>0\\ y_{CD}.y_{CT}<0 \end{matrix}\right.$
2) Đồ thị hàm số bậc ba cắt Ox tại 2 điểm phân biệt khi $\left\{\begin{matrix} \Delta y'>0\\ y_{CD}.y_{CT}=0 \end{matrix}\right.$
3) Đồ thị hàm số bậc ba cắt Ox tại 1 điểm duy nhất khi $\bigg \lbrack\begin{matrix} \Delta y'\leq 0\\ \left\{\begin{matrix} \Delta y'>0 \\ y_{CD}.y_{CT}>0\\ \end{matrix}\right. \end{matrix}$
2) Đồ thi hàm bậc bốn trùng phương
$y=ax^4+bx^2+c \ \ (a\neq 0)$
$y'=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)$
* a > 0

* a < 0 

* Nhận xét:
1) Điều kiện để hàm số $y=ax^4 +bx^2+c \ \ (a\neq 0)$ có 2 cực tiểu và 1 cực đại là $\left\{\begin{matrix} a>0\\ y'=0 \end{matrix}\right.$ có 3 nghiệm phân biệt $(2ax^2+b=0$ có 2 nghiệm phân biệt)
2) Điều kiện để hàm số $y=ax^4+bx^2+c \ \ (a\neq 0)$ có 2 cực đại và 1 cực tiểu là $\left\{\begin{matrix} a<0\\ ab<0 \end{matrix}\right.$
3) Điều kiện để hàm số $y=ax^4+bx^2+c \ \ (a\neq 0)$ có đúng 1 cực trị $\bigg \lbrack\begin{matrix} ab>0\\ b=0 \end{matrix}$
4) Điều kiện để hàm số $y=ax^4+bx^2+c \ \ (a\neq 0)$ có đúng 1 cực đại $\left\{\begin{matrix} a<0\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} ab>0\\ b=0 \end{matrix} \end{matrix}\right.$
5) Điều kiện để hàm số $y=ax^4+bx^2+c \ \ (a\neq 0)$ có đúng 1 cực tiểu $\left\{\begin{matrix} a>0\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} ab>0\\ b=0 \end{matrix} \end{matrix}\right.$
3) Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$
$y'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$
+ ad - bc > 0: Hàm số đồng biến trên 2 khoảng $(-\infty ;-\frac{d}{c});(-\frac{d}{c};+\infty )$
+ ad - bc < 0: Hàm số nghịch biến trên 2 khoảng $(-\infty ;-\frac{d}{c});(-\frac{d}{c};+\infty )$

II. Một số phép biến đổi đồ thị
$(C): y=f(x)$
1) Từ (C) suy ra $(C_1): y=f(\left | x \right |)$
$\left\{\begin{matrix} f(x) \ \ x\geq 0\\ f(-x) \ \ x < 0 \end{matrix}\right.$
Đồ thị (C1):
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung.
+ Lấy đối xứng phần giữ nguyên qua Oy.

2) Từ (C) suy ra $(C_2): y=(f\left | x \right |)$
$\left\{\begin{matrix} f(x) \ neu \ f(x) \geq 0\\ -f(x) \ neu \ f(x) <0 \end{matrix}\right.$
Đồ thị (C₂):
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở giá trên Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở dưới Ox qua Ox.

3) Từ (C) suy ra $y=|f(x)|$

$y=|f(x)|=\left\{\begin{matrix} f(x) \ f(|x|)\geq 0\\ -f(x) \ f(|x|)< 0 \end{matrix}\right.$
bằng cách 
+ giữ nguyên phần đồ thị (C1) ở phía trên Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C1) ở phía dưới Ox qua Ox.

4) Từ (C) suy ra (C4) |y| = f(x)
$\left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} y=f(x)\\ y=-f(x) \end{matrix} \end{matrix}\right.$
(C₄) gồm 
+ Phần đồ thị (C) ở phía trên Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở phía trên Ox qua Ox

5) Từ (C) suy ra (C5) y = f(x+a)
Tịnh tiến (C) theo vecto $\vec{u}=(-a;0)$

6) Từ (C) suy ra (C6) y = f(x)+b
Tịnh tiến (C) theo $\vec{v}=(0;b)$
III. Bài tập

Ví dụ 1: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị $y=-x^3+3x-1$ tại 3 điểm phân biệt. 

Giải
Cách 1: 
TXĐ: R
$y'=-3x^2+3, y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1$


. Đường thẳng y = m, vuông góc oy cắt trục tại A(0;m)
. Để y = m cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì $-3<m<1$
Cách 2:

Số giao điểm đường thẳng y =m và đồ thị $y=-x^3+3x-1$ là số nghiệm phương trình $-x^3+3x-1=m\Leftrightarrow x^3-3x+1+m=0$ là số giao điểm y = 0 với đồ thị $y=x^3-3x+1+m$
Xét $f(x)=x^3-3x+1+m$
$f'(x)=3x^2-3, f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
$y_{cbt}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta y'>0\\ y_{CD}.y_{CT}<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (3+m).(-1+m)<0\Leftrightarrow -3<m<1$
Câu 1: Tập hợp m để đường thẳng y = m cắt đồ thị $y=-x^3+3x-1$ tại 3 điểm phân biệt là 
A. (-3;1)
Câu 2: Tập hợp m để đường thẳng y = m cắt đồ thị $y=-x^3+3x-1$ tại 2 điểm phân biệt là 
A. {-3; 1}    B. (-3; 1)   
Câu 3: Tập hợp m để đường thẳng y = m cắt đồ thị $y=-x^3+3x-1$ tại 1 điểm phân biệt là 
A. $(-\infty ;-3);(1;+\infty )$
Câu 4: Tập hợp m để đồ thị $y=x^3-3x+1+m$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
A. (-3; 1)
Câu 5: Tập hợp m để đồ thị $y=x^3-3x+1+m$ cắt Ox tại 2 điểm phân biệt
A. {-3; 1}   B. (-3; 1)
VD2: Tìm m để đường thẳng y = m + 3 cắt đồ thị hàm số $y=x^4-2x$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải
$y'=4x^3-4x, y'=0\Leftrightarrow 4x(x^2-1)=0$
$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x =0\\ x=\pm 1 \end{matrix}$

$y_{cbt}\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m=-3$
Câu 1: Tập hợp m để y = m + 3 cắt đồ thị $y=x^4-2x^2$ tại 3 điểm phân biệt là.
A. {-3}
Câu 2: Tập hợp m để y = m + 3 cắt đồ thị $y=x^4-2x^2$ tại 4 điểm phân biệt là.
A.(-4; -3)
Câu 3: Tập hợp m để y = m + 3 cắt đồ thị $y=x^4-2x^2$ tại 2 điểm phân biệt là.
A. $\left \{ -4 \right \}\cup (-3;+\infty )$
Câu 4: Tập hợp m để y = m + 3 cắt đồ thị $y=x^4-2x^2$ 
A.$(-\infty ;-4)$
Câu 5: Tìm m để y = 3 cắt đồ thị $y=x^4-2x^2-m$ tại 4 điểm phân biệt là.
A.(-4; -3)
VD3: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị $y=\frac{x-2}{x+1}$ tại 1 điểm duy nhất có hoành độ dương.
Giải
Xét hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$
TXĐ: D = R \ {-1}
$y'=\frac{3}{(x+1)^2}$

Từ bảng biến thiên ta có: $y_{cbt}\Leftrightarrow -2<m<1$

Câu 1: Tập hợp m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại điểm có hoành độ dương
A. (-2;1)
Câu 2: Tập hợp m để đường thẳng y = m cắt đồ thị điểm có hoành độ âm.
A. $(1;+\infty );(-\infty ;-2)$
Câu 3: Cho (C) $y=\frac{x-2}{x+1}$
Trong các đồ thị sau đồ thị nào là đồ thị $y=\left | \frac{x-2}{x+1} \right | \ \ (C_1)$
Câu 4: Cho (C) $y=\frac{x-2}{x+1}$

Trong các đồ thị sau đồ thị nào là đồ 
$y=\frac{\left |x \right |-2}{\left |x \right |+1}$