Bài 3: Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình

Bài giảng sẽ giúp các em nắm kỹ hơn về lý thuyết và một số ví dụ cụ thể về ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình.

I. Lý thuyết 
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì pt f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trên (a;b) (Nhẩm nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất)
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b), \(u,v\in (a;b),f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\)
- Nếu f(x) = 0 có tối đa n nghiệm trên (a;b) thì f(x) = 0 có tối đa n +1 nghiệm trên (a;b)
VD1: Giải pt \(\sqrt{x^2+15}=3x-2+\sqrt{x^2+8}\)
Giải
PT \(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2=0\)
TH1: x>0
Xét \(f(x)=\sqrt{x^2-15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2\) trên 
\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3\)
\(=x(\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}})-3<0\)
​Hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
x = 1 là nghiệm 
x > 1 do hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\) nên \(f(x)<f(1)=0\)
0 < x < 1 do hàm số nghịch biến trên \((0;+\infty )\) nên \(f(x)>f(1)=0\)
x = 1 là nghiệm duy nhất trên \((0;+\infty )\)
\(\sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8}\)
\(0>3x-2\)
\(\Rightarrow\) VT > VB
\(x\leq 0\) không t/m
Kết luận: Tập nghiệm S={1}
VD2: Giải phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}=10\)
Giải
ĐK: \(x\geq 0\)
Xét \(f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}\) trên \([0;+\infty )\)
\(\Rightarrow\)​ f(x) đồng biến trên \([0;+\infty )\)
\(f(1)=10\Rightarrow x=1\) là nghiệm
\(x>1\Rightarrow f(x)>f(1)=10\).Vậy \(\forall x> 1\) không thỏa mãn
0 < x < 1 \(\Rightarrow f(x)<f(1)=10\). Vậy \(\forall x\leq x\leq 1\) không thỏa mãn pt
Vậy tập nghiệm pt là {1}
VD3: Giải pt \(8x^3+2x=(x+2)\sqrt{x+1}\)
Giải

ĐK: \(x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\)

\(pt\Leftrightarrow 8x^3+2x=(x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)
Xét hàm số \(f(t)=t^3+t\)  trên R
\(f'(t)=3t^2+1>0\)
\(\Rightarrow f(1)\) đồng biến trên R
\((*)\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt{x+1})\)

\(\Leftrightarrow 2x=\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq 0\\ 4x^2=x+1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm là \(\left \{ x=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \right \}\)
VD4: Giải pt \(3^x+5^x=2+6x\)
Giải 
\(PT\Leftrightarrow 3^x+5^x-6x-2=0\)
Xét \(f(x)=3^x+5^x-6x-2\) trên R
\(f'(x)=3^xln3+5^xln5-6\)
\(f''(x)=3^xln^23+5^xln^25>0\)
\(\Rightarrow f'(x)=0\) có tối đa 1 nghiệm
\(\Rightarrow f(x)=0\) có tối đa 2 nghiệm
x = 0, x = 1 là các nghiệm
Vậy tập nghiệm phương trình {0;1}
VD5: Giải phương trình \((2x+1)(2+\sqrt{4x^2+4x+4}+3x(2+\sqrt{9x^2+3})=0\)
Giải
PT \(\Leftrightarrow (2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})=-3x(2+\sqrt{(-3x)^2+3})\)
Xét \(f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3})\) trên R
\(f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+t.\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}\)
\(=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{1^2}{\sqrt{t^2+3}}>0\)
* f(x) đồng biến trên R
* \(pt\Leftrightarrow f(2x+1)=f(-3x)\)
\(\Leftrightarrow 2x+1=-3x\)
\(\Leftrightarrow 5x=-1\)
\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}\)
Vậy tập nghiệm pt là \(\left \{ x=-\frac{1}{5} \right \}\)