Bài 4: Ứng dụng tích vô hướng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

\(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\)
\(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\)
\(\vec{a}.\vec{b}=x_1.x_2+y_1.y_2+z_1z_2\)
\(\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a};\vec{b})\)
\(\left | \vec{a}.\vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right | \Leftrightarrow \vec{a},\vec{b}\) cùng hướng
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} \vec{a}=\overrightarrow{0}\\ \vec{b}=k.\vec{a} \ \ (k\geq 0) \end{matrix}\)
\(\left | \vec{a}.\vec{b} \right |=-\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right | \Leftrightarrow \vec{a},\vec{b}\) ngược hướng 
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} \vec{a}=\overrightarrow{0}\\ \vec{b}=k.\vec{a} \ \ (k\geq 0) \end{matrix}\)
VD1: Giải phương trình 
\(x+\sqrt{2-x^2}+x.\sqrt{2-x^2}=3 (1)\)
Giải
ĐK: \(-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}\)
\(\vec{a}=(x;1;\sqrt{2-x^2})\Rightarrow \left |\vec{a} \right |=\sqrt{x^2+1^2+2-x^2}=\sqrt{3}\)
\(\vec{b}=(1;\sqrt{2-x^2};x)\Rightarrow \left |\vec{b} \right |=\sqrt{1+2-x^2+x^2}=\sqrt{3}\)
\(\vec{a}.\vec{b}\leq \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |\)
\(x+\sqrt{2-x^2}+x\sqrt{2-x^2}=3\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}\) cùng hướng
\(\Leftrightarrow b^2=k.\vec{a}(k\geq 0, do \ \ \vec{a}\neq \vec{0})\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1=k.x \ \ \ (1)\\ \sqrt{2-x^2}=k \ \ (2)\\ x=k.\sqrt{2-x^2} \ (3) \end{matrix}\right.\)
Từ (1) (2) \(x\sqrt{2-x^2}=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2(2-x^2)=1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^4-2x^2+1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ (x^2-1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)
(thỏa mãn (3))
Vậy phương trình có tập nghiệm là {1}
VD2: Giải bất phương trình 
\(x+\sqrt{2-3x^2}+2\sqrt{1+x^2}<4\)
Giải
ĐK: \(-\sqrt{\frac{3}{2}}\leq x\leq \sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\vec{a}=(1;1;\sqrt{2})\)
\(\vec{b}=(x;\sqrt{2-3x^2};\sqrt{2(1+x^2)})\)
\(\Rightarrow \left | a \right |=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2}=2\)
\(\Rightarrow \left | b \right |=\sqrt{x^2+(2-3x^2)+2(1+x^2)}=2\)
\(\vec{a}.\vec{b}=x+\sqrt{2-3x^2}+2.\sqrt{1+x^2}\)
Bất phương trình (1) có dạng \(\vec{a}.\vec{b}<\left | \vec{a} \right |.\left |\vec{b} \right |\)
Ta lại có \(\vec{a}.\vec{b}\leq \left | \vec{a} \right |.\left |\vec{b} \right |\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\vec{a},\vec{b}\) cùng hướng
\(\Leftrightarrow \vec{b}=k.\vec{a} \ (k\geq 0)\) do \(\vec{a}\neq \vec{0}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ \sqrt{2-3x^2}=k \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ \sqrt{2(1+x^2)}=\sqrt{2}.k \ \ (3) \end{matrix}\right.\)
Từ (1) (2) \(x=\sqrt{2-3x^2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2=2-3x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}, k=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Không thỏa mãn (3)
Vậy tập nghiệm là \(\left [ -\sqrt{\frac{2}{3}}; \sqrt{\frac{2}{3}} \right ]\)

VD3: Giải bất phương trình \(x+\sqrt{2-x^2}+x\sqrt{2-x^2}\geq 3\)
Giải
ĐK: \(-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}\)
\(\vec{a}=(x;1;\sqrt{2-x^2})\Rightarrow \vec{a}=\sqrt{x^2+1+2-x^2}=\sqrt{3}\)
\(\vec{b}=(1;\sqrt{2-x^2};x)\Rightarrow \vec{b}=\sqrt{1+2-x^2+x^2}=\sqrt{3}\)
\(\vec{a}.\vec{b}=x+\sqrt{2-x^2}+x\sqrt{2-x^2}\)
Ta có \(\vec{a}.\vec{b}\leq \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |\)
Từ bất phương trình \(\vec{a}.\vec{b}\geq \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |\)
Suy ra \(\vec{a}.\vec{b}= \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |\)
\(\Leftrightarrow \vec{b},\vec{a}\) cùng hướng
\(\Leftrightarrow \vec{b}=k.\vec{a}, \ \ k\geq 0, do \ \vec{a}\neq \vec{0}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1=k.x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\ \sqrt{2-x^2}= k \ \ \ \ (2)\\ x=k.\sqrt{2-x^2} \ \ \ (3) \end{matrix}\right.\)
Từ (1) (2) \(x\sqrt{2-x^2}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2(2-x^2)=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ (x^2-1)^2=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow k=1 \ t/m \ (3)\)
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm là {1}