Bài 3: Phương trình mũ - Phương pháp logarit hóa

I. Lý thuyết
1. \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)

VD:
\(log _28=3\) vì \(2^3=8\)
\(log_2\frac{1}{4}=-2\) vì \(2^-^2=\frac{1}{4}\)
\(log_21=0\) vì \(2^0=1\)
\(2^x=3\Leftrightarrow x=log^3_2\)
2. \(0<a\neq 1,b>0 \ \ \ \ \ a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)
VD1: 
Giải phương trình \(3^{2x+1}=5\)
Giải
\(pt\Leftrightarrow 2x+1=log_35\)
\(\Leftrightarrow 2x=log_35-1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(log_35-1)=\frac{1}{2}log_3\frac{5}{3}\)
Chú ý: 
\(log_35-1=log_35-log_33=log_3\frac{5}{3}\)
VD2:
Giải phương trình \(2^x+2^{x+1}=3^x+3^{x+1}\)
Giải
\(pt \Leftrightarrow 2^x+2.x^x=3^x+3^x.3\)
\(\Leftrightarrow 3.2^x=4.3^x\)
\(\Leftrightarrow \left (\frac{2}{3} \right )^x=\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow x=log_{\frac{2}{3}}\frac{4}{3}\)

VD3: 
Giải phương trình \(2^{x^2}=3^{x+1}\)
Giải
Chú ý
\(log_ab^c=c.log_ab \ \ \ \ \ \ 0< a\neq 1,b> 0\)
\(pt\Leftrightarrow log_22^{x^2}=log_23^{x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2=(x+1)log_23\)
\(\Leftrightarrow x^2-x.log_23-log_23=0\)
\(\Delta =(log_23)^2+4log_23\)
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{log_23-\sqrt{log_2^23+4log_23}}{2}\\ \\ x=\frac{log_23+\sqrt{log_2^23+4log_23}}{2}\ \end{matrix}\)
VD4: 
Giải phương trình \(3^x.8^{\frac{x}{x+1}}=36\)
Giải
ĐK: \(x\neq -1\)
\(log_2(3^x.8^{\frac{x}{x+1}})=log_236\)
\(\Leftrightarrow log_23^x+log_22^{\frac{3x}{x+1}}=log_2(4.9)\)
\(\Leftrightarrow x.log_23+\frac{3x}{x+1}=2+2.log_23\)
\(\Leftrightarrow (x-2)log_23+\frac{3x}{x+1}-2=0\)
Chú ý:
\(log_a(b.c)=log_ab+log_ac\)

\(\Leftrightarrow (x-2)log_23+\frac{x-2}{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-2)(log_23+\frac{1}{x+1})=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\ \\ \frac{1}{x+1}=-log_23 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\ \\ x+1=-\frac{1}{log_23} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=2\\ \\ x=-log_32-1 \end{matrix}\)Chú ý:
\(\frac{1}{log_ab}=log_ba \ \ 0<a,b\neq 1\)
VD5: 
Giải phương trình \(3^{4^x}=4^{3^x}\)

Giải

\(pt\Leftrightarrow log_33^{4^x}=log_34^{3^x}\)
\(\Leftrightarrow 4^x=3^x.log_34\)
\(\Leftrightarrow (\frac{4}{3})^x=log_34\)
\(\Leftrightarrow x=log_\frac{4}{3}.log_34\)