Bài 9: Bất phương trình logarit - Phương pháp hàm số

I. Lý Thuyết
\(1) \ y =log_ax\)
\(a>1 \ \ y=log_ax\)  đồng biến trên \((0;+\infty )\)
\(0<a<1 \ y =log_ax\) nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
2) Tổng các hàm số đồng biến (nghịch biến) tren D là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D.
3) f(x) đồng biến trên D.
g(x) nghịch biến trên D.
⇒ f(x) - g(x) đồng biến trên D.
g(x) - f(x) nghịch biến trên D.
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình \(log_3 x +x >4 \ (1)\)
Giải
+) x > 3
 \(\left.\begin{matrix} log_3 x >1\\ x>3 \end{matrix}\right\}log_3 x + x > 4 \ (t/m)\)

+) 0 < x < 3
\(\left.\begin{matrix} log_3 x< 1\\ x<3 \end{matrix}\right\}log_3x+x<4\)
KL: x > 3
Có thể trình bày
Xét \(f(x)=log_3 x +x\) trên \((0;+\infty )\)
\(f'(x)=\frac{1}{x ln 3}+1>0\)
f(x) đồng biến trên \((0;+\infty )\)
\((1)\Leftrightarrow f(x)> f(3)\)
\(\Leftrightarrow x>3\) (do f đồng biến)
VD2: Giải bất phương trình \(log_2(x+6)+log_3(x+7)>5 \ \ (2)\)
Giải

Cách 1:
Xét \(f(x)=log_2(x+6)+log_3(x+7)\) trên \((-6;+\infty )\)
\(f'(x)=\frac{1}{(x+6)ln 2}+\frac{1}{(x+7)ln3}>0\)
f(x) đồng biến trên \((-6;+\infty )\)
\((2)\Leftrightarrow f(x)>f(2)\)
\(\Leftrightarrow x>2\) (do f đồng biến)

Cách 2:
TH1: x > 2
\(log_2(x+6)>log_28=3\)
\(log_3(x+7)>log_39=2\)
\(\Rightarrow log_2(x+6)+log_3(x+7)>5\)
Vậy x > 2 thỏa mãn bất phương trình
TH2: \(-6<x\leq 2\)
Tương tự \(log_2(x+6)+log_3(x+7)\leq 5\)
Vậy x > 2

VD3: Giải bất phương trình \(log_3\frac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5}>x^2+3x+2\)
Giải

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x^2+x+3>0\\ 2x^2+4x+5>0 \end{matrix}\right.\) đúng với mọi x

\(Bpt\Leftrightarrow log_3(x^2+x+3)-log_3(2x^2+4x+5)> (2x^2+4x+5)-(x^2+x+3)\)
\(\Leftrightarrow log_3(x^2+x+3)+x^2+x+3>log_3(2x^2+4x+5)+2x^2+4x+5 \ (1)\)
Xét \(f(t)=log_3 t +t\) trên \((0;+\infty )\)
\(f'(t)=\frac{1}{t \ ln 3}+1> 0 \ \ \forall t>0\)

f(t) đồng biến trên \((0;+\infty )\)
\((1)\Leftrightarrow f(x^2+x+3)> f(2x^2+4x+5)\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+3> 2x^2+4x+5\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x+2<0\)
\(\Leftrightarrow -2<x<-1\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là (-2;-1)

VD4: Giải bất phương trình \(log(x^2+x-6)+x>log(x+3)+3\)
Giải

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x^2+x-6>0\\ x+3>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x>2\)
\(Bpt\Leftrightarrow log(x-2)(x+3)+x>log(x+3)+3\)
\(\Leftrightarrow log(x-2)+log(x+3)>log(x+3)+3-x\)
\(\Leftrightarrow log(x-2)>3-x\)
+) x > 3 
\(\left.\begin{matrix} log(x-2)>0\\ 3-x<0 \end{matrix}\right\}log(x-2)>3-x \ \ (t/m)\)

+) \(2<x\leq 3\)

\(\left.\begin{matrix} log(x-2)\leq 0\\ 3-x\geq 0 \end{matrix}\right\}log(x-2) \leq 3-x \ (k^{0} \ t/m)\)
KL: x > 3