Bài 7: Bất phương trình logarit - Phương pháp mũ hóa

I. Lý Thuyết
\(0<a\neq 1\)
\(log_a \ f(x)> b \ \ (1)\)
TH1: 
\(a>1 \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
TH2:
\(0<a<1 \ \ (1)\Leftrightarrow 0<f(x)<a^b\)
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình 
\(log_{\frac{1}{2}}(3x-5)>3\)
Giải
\(Bpt\Leftrightarrow 0<3x-5<\left ( \frac{1}{2} \right )^3\)
\(\Leftrightarrow 5<3x<\frac{41}{8}\)
\(\Leftrightarrow \frac{5}{3}<x<\frac{41}{24}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(\left (\frac{5}{3};\frac{41}{24} \right )\)
VD2: Giải bất phương trình 
\(log_{3}\left (log_ \frac{1}{3} (4x-1)\right )< 2\)
Giải

\(Bpt\Leftrightarrow 0<log_\frac{1}{3}(4x-1)<9\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3^9}< 4x-1< \left ( \frac{1}{3} \right )^0\)
\(\Leftrightarrow 1+\frac{1}{3^9}<4x<2x\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{4.3^9}<x<\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{4921}{19683}< x< \frac{1}{3}\)

VD3: Giải bất phương trình 
\(log_{x}\left (log_ 2(4^x-6)\right )\leq 1\)
Giải
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 4^x-6>0\\ log_2(4^x-6)>0\\ 0<x\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4^x-6>1\\ 0<x\neq 1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4^x>7\\ 0<x\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> log_4 7\)
Do \(x> log_4 7 \ \ \ (1)\Leftrightarrow 0<log_2(4^x-6)\leq x\)

\(\Leftrightarrow 1<4^x-6<2^x\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4^x>7\\ 4^x-2^x-6<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>log_4 7\\ 4^x-2^x-6<0 \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
Đặt \(t=2^x, t >0\) ta có:
\(t^2-t-6<0\)
\(\Leftrightarrow -2<t<3\) đối chiếu điều kiện t > 0, ta có 0 < t < 3.
\(\Leftrightarrow 2^x<3\)
\(\Leftrightarrow x< log_2 \3\)
Kết hợp điều kiện \(x> log_4 7\) ta có \(log_4 7<x<log_2 \ 3\)

VD4: Tìm tập xác định của hàm số
\(y=\sqrt{log_\frac{1}{2}\left ( \frac{3-2x-x^2}{x+2} \right )}\)
Giải
Hàm số xác định khi \(\left\{\begin{matrix} log_\frac{1}{2}\frac{3-2x-x^2}{x+2}\geq 0 \\ \\ \frac{3-2x-x^2}{x+2}> 0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{3-2x-x^2}{x+2}\leq 1 \\ \\ \frac{3-2x-x^2}{x+2}> 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-x^2-2x+3-x-2}{x+2}\leq 0\\ \\ \frac{-x^2-2x+2}{x+2}> 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-x^2-3x+1}{x+2}\leq 0\\ \\ \frac{-x^2-2x+3}{x+2}> 0 \end{matrix}\right.\)
\(\frac{-3+\sqrt{13}}{2}< x\leq 1\)