Bài 19: Xác định tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng

I. Lý thuyết
Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M trên đường thẳng \(\Delta\)
Cách 1: 
+ Gọi H là hình chiếu của M trên \(\Delta\)
\(H\in \Delta \Rightarrow\) Tọa độ H theo 1 ẩn
+ \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{U_\Delta }=0\Rightarrow\) ẩn
Cách 2: 
+ Viết phương trình (P) chứa M và vuông góc \(\Delta\)
+ \(H=(P)\cap \Delta\)
Bài toán 2: Tìm tọa độ M' đối xứng với M qua \(\Delta\)
+ Tìm tọa độ H là hình chiếu của M trên \(\Delta\)
+ Tìm M' sao cho H là trung điểm MM'
\(\left\{\begin{matrix} x_{M'}=2x_H-x_M\\ y_{M'}=2y_H-y_M\\ z_{M'}=2z_H-z_M \end{matrix}\right.\)
Bài toán 3: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Tìm \(A\in a,B\in b\) sao cho ABmin.
\(A\in a\Rightarrow\) Tọa độ A theo 1 ẩn
\(B\in b\Rightarrow\) Tọa độ B theo 1 ẩn
\(ABmin\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_a}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_b}=0 \end{matrix}\right.\)

II. Bài tập
VD1: Cho M(1;2;3) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}\). Tìm tọa độ.
a) Hình chiếu H của M trên \(\Delta\)
b) M' đối xứng với M qua \(\Delta\)
Giải
a)
\(H\in \Delta \Rightarrow H(1+2t;-t;-1+2t)\)
\(\overrightarrow{MH}=(2t;-t-2;2t-4)\)
H là hình chiếu của M trên \(\Delta\) khi \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0\)
\(\Leftrightarrow 2.2t-1(-t-2)+2(2t-4)=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-6=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow H(\frac{7}{3};-\frac{2}{3};-\frac{1}{3})\)
b)
M' đối xứng với M qua \(\Delta\) khi H là trung điểm MM'
\(\left\{\begin{matrix} x_{M'}=2x_H-x_M=\frac{14}{3}-1=\frac{11}{3}\\ \\ y_{M'}=2y_H-y_M=-\frac{4}{3}-2=-\frac{10}{3}\\ \\ z_{M'}=2z_H-z_M=-\frac{2}{3}-3=-\frac{11}{3} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left ( \frac{11}{3};-\frac{10}{3};-\frac{11}{3} \right )\)
VD2: Cho A(1;0;2), B(3;-1;1) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}\)
a) \(\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right |min\)
b) \(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2 \ min\)
Giải
a)
Cách 1:
Gọi I là trung điểm AB ta có \(I(2;-\frac{1}{2};\frac{3}{2})\)
ta có \(T=\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right |= \left | 2.\overrightarrow{MI} \right |=2.MI\)
\(T_{min}\Leftrightarrow MI_{min}\) mà \(M\in \Delta\). Điều này sảy ra khi M là hình chiếu của I trên \(\Delta\) 
\(M\in \Delta\) nên M (1+2t;t;2+2t)
\(\overrightarrow{IM}=(2t-1;t+\frac{1}{2};2t+\frac{1}{2})\)
M là hình chiếu trên \(\Delta\) nên \(\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u}=0\)
\(\Leftrightarrow 2(2t-1)+t+\frac{1}{2}+2(2t+\frac{1}{2})=0\)
\(\Leftrightarrow 9t-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{18}\)
Vậy \(M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})\)

Cách 2:
\(M\in \Delta \Rightarrow M(1+2t;t;2+2t)\)
\(\overrightarrow{MA}=(-2t;-t;-2t)\)
\(\overrightarrow{MB}=(2-2t;-1-t;-1-2t)\)
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(2-4t;-1-2t;-1-4t)\)
\(\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right |= \sqrt{(2-4t)^2+(-1-2t)^2+(-1-4t)^2}\)
\(=\sqrt{36t^2-4t+6}=\sqrt{(6t)^2-2.6t.\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{53}{9}}\)
\(=\sqrt{(6t-\frac{1}{3})^2+\frac{53}{9}}\geqslant \frac{53}{9}\)
\(T_{min}=\frac{53}{9} \ khi \ 6t =\frac{1}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{8}\)
Vậy \(M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})\)
b)
I là trung điểm AB  \(I(2;-\frac{1}{2};\frac{3}{2})\)
Cách 1:
\(T_1=MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}\)
\(=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2 =2MI^2+2\overrightarrow{MI}(\underset{\overrightarrow{0}}{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}})+IA^2+IB^2\)
\(=2MI^2+\underset{0 \ doi}{IA^2+IB^2}\)
\(T_1 min \Leftrightarrow MI^2min\Leftrightarrow\) M là hình chiếu của I trên \(\Delta\)
Theo a) ta có \(M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})\)
Cách 2:
\(M\in \Delta \Rightarrow M(1+2t;t;2+2t)\)
\(MA^2=(2t^2)+t^2+(2t)^2=9t^2\)
\(MB^2=(2t-2)^2+(t+1)^2+(2t+1)^2=9t-2t+6\)
\(MA^2+MB^2=18t^2-2t+6\)
\(=18(t^2-2.t.\frac{1}{18}+\frac{1}{18^2})+\frac{107}{18}\)
\(=18(t-\frac{1}{18})^2+\frac{107}{18}\geqslant \frac{107}{18}\)
\(MA^2+MB^2min=\frac{107}{18} \ khi \ t=\frac{1}{18}\rightarrow M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})\)
VD3: Cho 2 đường thẳng chéo nhau \(\Delta _1:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-2} \ \Delta _2:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=t\\ z=5-t \end{matrix}\right.\)
Tìm tọa độ điểm \(A\in \Delta _1,B\in \Delta _2\) sao cho AB_min

Giải
\(A\in \Delta _1\Rightarrow A(2a;2+a;-1-2a)\)
\(B\in \Delta _2\Rightarrow B(1+2t;t;5-t)\)
\(\overrightarrow{AB}=(2t-2a+1;t-a-2;-t+2a+6)\)
\(AB_{min}\left\{\begin{matrix} AB\perp \Delta _1\\ AB\perp \Delta _2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0 \ \ \ \overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \ \ \ \overrightarrow{u_2}=(2;2;-1) \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4t-4a+2+t-a-2+2t-4a-12=0\\ 4t-4a+2+t-a-2+t-2a-6=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6t-9a=12\\ 6t-7a=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 42t-54a=72\\ 42t-49a=42 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-6\\ t=-6 \end{matrix}\right.\Rightarrow \begin{matrix} A(-12;-4;11)\\ B(-11;-6;11) \end{matrix}\)
VD4: Cho \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}, A(0;1;2),B(-1;2;3)\). Tìm \(M\in \Delta\) sao cho \(\left | 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right |min\)
Giải
\(M\in \Delta \Rightarrow M(t;1+2t;-1-2t)\)
\(\overrightarrow{MA}=(-t;2t;3+2t)\Rightarrow 2\overrightarrow{MA}=(-2t;4t;6+4t)\)
\(\overrightarrow{MB}=(-1-t;1-2t;4+2t)\)
\(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}= \sqrt{(-t+1)^2+(6t-1)^2+(2t+2)^2}=\sqrt{41t^2-6t+6}\)
\(=\sqrt{41\left ( t^2-2.t.\frac{3}{41}+\frac{3^2}{41^2} \right )+\frac{237}{41}}\)
\(=\sqrt{41 \left ( t-\frac{3}{41} \right )^2+\frac{237}{41}}\geqslant \sqrt{\frac{237}{41}}\)
\(\left | 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right |min\Leftrightarrow t= \frac{3}{41}\)
Vậy \(M\left ( \frac{3}{41};\frac{47}{41};-\frac{47}{41} \right )\)