Bài 2: Nguyên hàm - Phương pháp đổi biến

I. Lý Thuyết
+ Nếu \(\int f(x)dx=F(x)+C\)
thì \(\int f(u)du = F(u)+C\)
Đặt t = f(x)
Đặt x = g(u)
II. Bài tập
VD1: Tính \(I_1 = \int \frac{dx}{ax+b} (a\neq 0)\)
Giải
Đặt \(t = a x + b \Rightarrow d t = a d x\)
\(\Rightarrow dx=\frac{1}{a}dt\)
\(I_1=\frac{1}{a} \int \frac{dt}{t} =\frac{1}{a} ln \left | t \right | + C\)
\(=\frac{1}{a} ln \left |ax +b \right | + C\)

VD2: Tính \(I_2 = \int cos(4x+5) dx\)

Giải
Đặt u = 4x + 5 ⇒ du = 4 dx
⇒ dx = 1/4 du
\(I_2 = \frac{1}{4} \int cos u du = \frac{1}{4}sin u + C\)

\(= \frac{1}{4}sin (4x+5) + C\)
TQ: 
\(\int cos(ax + b)dx = \frac{1}{a}sin(ax + b)+C \ \ (a \neq 0)\)

VD3: Tính \(I_3=\int (2x+1)^{2015}dx\)
Giải
Đặt 
u = 2x + 1 ⇒ du = 2dx

\(I_3=\frac{1}{2}\int u^{2015}.du=\frac{u^{2016}}{4032}+C\)
\(=\frac{1}{4032}(2x+1)^{2016}+C\)

VD4: Tính \(I_4=\int x\sqrt{x^2+1}dx\)
Giải
Đặt
\(u=\sqrt{x^2+1} \Rightarrow du = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\)
\(x.\sqrt{x^2+1}dx=(x^2+1)\frac{x dx}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(I_4=\int u^2.du\)
\(=\frac{1}{3}u^3+C\)
\(=\frac{1}{3} . \sqrt{(x^2+1)^2}+C\)
VD5: Tính \(I_5=\int x .(2x^2+1)^{10}dx\)
Giải
Đặt

\(u=2x^2+1\Rightarrow du=4x dx\)
\(\Rightarrow x dx = \frac{1}{4}du\)
\(I_5=\frac{1}{4}\int u^{10}du= \frac{u^{11}}{44}+C=\frac{1}{14}(2x^2+1)^11+C\)

VD6: Tính \(I_6=\int sin 2x .e^{cos^2x}dx\)
Giải

Đặt 
\(u=cos^2x \Rightarrow du = 2.(cosx)'.cosx dx=-sin 2x .dx\)
\(\Rightarrow sin2x dx = -du\)
\(I_6=-\int e^u . du\)
\(=-e^u+C= -e^{cos^2x}+C\)