Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

I. Lý thuyết
Cho đường thẳng \(\Delta\) có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\)

(P) có 1 VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\)
\(\Delta \perp (P)\rightarrow (\widehat{\Delta ;(P)})=90^0\)
\(\Delta\) không vuông góc với (P)
\(sin(\widehat{\Delta ;(P)})=\left | cos(\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}) \right |= \frac{\left | Aa+Bb+Cc \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
II. Bài tập
VD1: Cho \(\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+3}{-1}\) và \((P): 2x+y+z-1=0\). Tính góc giữa \(\Delta\) và  (P)
Giải
\(\Delta\) có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=(1;2;-1)\)
(P) có 1 VTCP \(\overrightarrow{n}=(2;1;1)\)
\(sin\widehat{(\Delta ;(P)})=\left | cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{n}) \right |=\frac{\left | 1.2+2.1+(-1).1 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}\)
\(=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow (\widehat{\Delta ;(P)})=30^0\)
VD2: Cho \(\Delta \left\{\begin{matrix} x=1+mt\\ y=-1+2t\\ z=3+3t \end{matrix}\right. \ (P): 2x-y+2z+1=0\). Tìm m để \((\widehat{\Delta ;(P)})=45^0\)
Giải 
\(\Delta\) có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=(m;2;3)\)
(P) có 1 VTCP \(\overrightarrow{n}=(2;-1;2)\)
\((\widehat{\Delta ;(P)})=45^0\Leftrightarrow sin(\widehat{\Delta ;(P)})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left | cos(\overrightarrow{u};\overrightarrow{n}) \right |=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | 2m-2+6 \right |}{\sqrt{m^2+2^2+3^2}.\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\left | 2m+4 \right |=3\sqrt{m^2+13}\)
\(\Leftrightarrow 2(4m^2+16m+16)=9(m^2+13)\)
\(\Leftrightarrow m^2-32m+85=0\)
\(\Delta '=256-85=171\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 16-\sqrt{171}\\ 16+\sqrt{171} \end{matrix}\)
VD3: Cho đường thẳng d₁ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(x+y-2=0, y+z-2=0\). Viết phương trình (P) chứ d₁ và tạo \(d_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+5}{-1}\) một góc 60⁰
Giải
(P) chứa giao tuyến 2 mặt phẳng \(x+y-2=0, y+z-2=0\) nên có phương trình
\(m(x+y-2)+n(y+z-2)=0 \ \(m^2+n^2\neq 0)\)
\(\Leftrightarrow mx+(m+n)y+nz-2m-2n=0\)
(P) có 1 VTCP \(\overrightarrow{n}=(m;m+n;n)\)
d₂ có 1 VTCP \(\overrightarrow{u}=(2;1;-1)\)
\((d_2;(P))=60^0\Leftrightarrow sin(d_2;(P))=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left | cos(\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}) \right |= \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | 2m+m+n-n \right |}{\sqrt{m^2+(m+n)^2+n^2}.\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2 }}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3\left | m \right |}{\sqrt{2m^2+2n^2+2mn}.\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\left | m \right |=\sqrt{2m^2+2n^2+2mn}\)
\(\Leftrightarrow m^2=m^2+n^2+mn\)
\(\Leftrightarrow n(m+n)=0\)
TH1:
\(n=0 \ \ pt (P): x+y-2=0\)
TH2:
m = -n chọn m = 1, n = -1
pt (P): x - z = 0
KL:
x +y - 2 = 0 
x - z = 0