Bài 8: Bất phương trình mũ - Phương pháp đặt ẩn phụ

1. Lý Thuyết 
Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
1) \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)
Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
2) 
\(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\)
trong đó m.n = 1
Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)
\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
3) \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)
Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:
\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)
Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó:
+ Đưa về bất phương trình tích
+ Xem ẩn ban đầu như là tham số
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn 
+ Đưa về bất phương trình tích
+ Xem 1 ẩn là tham số
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình \(9^x-3^x-2>0\)
Giải
Đặt \(t=3^x, t>0\)
Bất phương trình trở thành 
\(t^2-t-2>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t<-1 \ (loai)\\ t>2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Với t > 2 thì \(3^x>2\Leftrightarrow x>log_32\)
Vậy tập nghiệm là \((log_32;+\infty )\)
VD2: Giải bất phương trình 
\(3.16^x+2.81^x>5.36^x\)
Giải
\(bpt\Leftrightarrow 3.16^x-5.36^x+2.81^x>0\)
Chia 2 vế cho 81^x, ta có:
\(3.\left ( \frac{16}{81} \right )^x-5.\left ( \frac{4}{9} \right )^x+2>0\)
Đặt \(t=\left ( \frac{4}{9} \right )^x, t>0\)
Ta có 
\(3t^2-5t+2>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg\lbrack\begin{matrix} t<\frac{2}{3}\\ t>1 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg\lbrack\begin{matrix} \left ( \frac{4}{9} \right )^x<\frac{2}{3}\\ \\ \left ( \frac{4}{9} \right )^x>1 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg\lbrack\begin{matrix} x>log_\frac{4}{9}\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\\ \\ x<0 \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm là \((-\infty ;0)\cup (\frac{1}{2};+\infty )\)
VD3: Giải bất phương trình 
\((2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x> 14\)
Giải

Đặt \(t=(2+\sqrt{3})^x, t>0\) ta có \((2-\sqrt{3})^x=\frac{1}{t}\)
BPT\(\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}>14\)
\(\Rightarrow t^2+1>14t\)
\(\Rightarrow t^2-14t+1>0\)
\(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t<7-4\sqrt{3}\\ t>7+4\sqrt{3}\\ \end{matrix}\)
\(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} (2+\sqrt{3})^x<7-4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-2}\\ (2+\sqrt{3})^x<7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-2} \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm là \((-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\)
VD4: Giải bất phương trình 
\(3.25^{x-2}+(3x-10).5^{x-2}+3-x>0\)
Giải
Đặt \(t=5^{x-2}, t>0\)
Ta có \(3t^2+(3x-10)t+3-x>0\)
\(\Delta =(3x-10)^2-12(3-x)\)
\(=9x^2-48x+64=(3x-8)^2\)
\(3t^2+(3x-10)t+3-x=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{-(3x-10)+3x-8}{6}\\ \\ t=\frac{-(3x-10)-(3x-8)}{6} \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \\ t=-x+3 \end{matrix}\)
\(Bpt\Leftrightarrow 3(t-\frac{1}{3})(t+x-3)>0\)
\(\Leftrightarrow (3t-1)(t+x-3)>0\)
TH1:
\(\left\{\begin{matrix} 3t-1>0\\ t+x-3>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t>\frac{1}{3}\\ t>3-x \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5^{x-2} > \frac{1}{3} \ \ (1) \\ 5^{x-2} >3-x \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
\((2)\Leftrightarrow 5^{x-2}+x>3\)
\(x>2 \ \ \left.\begin{matrix} 5^{x-2}>1\\ x>2 \end{matrix}\right\}VT>VP\)
\(x\leqslant 2 \ \ \ VT\leqslant VP\)
Tập nghiệm (2) là (\((2;+\infty )\) thỏa mãn (1)
Vậy x > 2
TH2:
\(\left\{\begin{matrix} 3t-1<0\\ t+x-3<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t<\frac{1}{3}\\ t<3-x \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5^{x-2} < \frac{1}{3} \ \ (3) \\ 5^{x-2}+x <3 \ \ (4) \end{matrix}\right.\)
(4) \(x\geq 2 \ \ \ 5^{x-2}\geqslant 1\Rightarrow VT\geqslant 3\)

+ x < 2 ta có \(5^{x-2}+x<3\) (thỏa mãn)
(3) \(x-2< log_5{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow x<2+log_5\frac{1}{3}\)
Vậy \(x<2+log_5\frac{1}{3}\)
Kết luận
\(\bigg \lbrack\begin{matrix} x>2\\ x<2+log_5\frac{1}{3} \end{matrix}\)

VD5: Giải bất phương trình 
\(8.3^x+3.2^x>24+6^x\)
Giải
Đặt \(a=3^x, b=2^x\) ta có
\(8.4+3.b>24+ab\)
\(\Leftrightarrow 8(a-3)-b(a-3)>0\)
\(\Leftrightarrow (a-3)-(8-b)>0\)
TH1:

\(\left\{\begin{matrix} a-3>0\\ 8-b>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>3\\ b<8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^x>3\\ 2^x<8 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>1\\ x<3 \end{matrix}\right.\)
Vậy 1 < x < 3
TH2:
\(\left\{\begin{matrix} a-3<0\\ 8-b<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a<3\\ b>8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^x<3\\ 2^x>8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<1\\ x>3 \end{matrix}\right. \ \ VN\)
Vậy tập nghiệm là (1;3)