Bài 6: Bất phương trình logarit - Phương pháp đưa về cùng cơ số

I. Lý Thuyết
a > 1 \(log_a \ f(x) > log_a \ g(x)\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
\(0<a<1 \ \ \ log_a \ f(x)> log_a \ g(x)\)
\(\left\{\begin{matrix} f(x)<g(x)\\ f(x)>0 \end{matrix}\right.\)
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình \(log_{\frac{1}{2}}x\leq log_\frac{1}{4}(x+2)\)
Giải
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ x+2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>0\)
\(Bpt\Leftrightarrow log_\frac{1}{2}x\leq \frac{1}{2}log_\frac{1}{2}(x+2)\)
\(\Leftrightarrow log_\frac{1}{2}x^2\leq log_\frac{1}{2}(x+2)\)
\(\Leftrightarrow x^2\geq x+2\Rightarrow x^2-x-2\geq 0\)
\(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x\leq -1 \ (loai)\\ x\geq 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \([2;+\infty )\)
VD2: \(log_2(x-2)-log_2\sqrt{x-4}> log_23\)
Giải
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x-2>0\\ x-4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>4\)
\(Bpt\Leftrightarrow log_2(x-2)>log_2\sqrt{x-4}+log_23\)
\(\Leftrightarrow log_2(x-2)>log_2 \ 3 \sqrt{x-4}\)
\(\Rightarrow x-2> 3\sqrt{x-4}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x>4\\ (x-2)^2>9(x-4) \ \(1) \end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow x^2-13x+40>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<5\\ x>8 \end{matrix}\)
Đối chiếu điều kiện ta có \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 4<x<5\\ x>8 \end{matrix}\)
VD3: Giải bất phương trình \(log_x(3x-1)>log_x(x^2+1) \ (1)\)
Giải
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 0<x\neq 1\\ 3x-1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>\frac{1}{3}\)
TH1: \(\frac{1}{3}< x< 1\)

\((1)\Leftrightarrow 3x-1<x^2+1\)
\(\Leftrightarrow 0<x^2-3x+2\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<1\\ x>2 \ (loai) \end{matrix}\)
Đối chiếu điều kiện, ta có  \(\frac{1}{3}< x< 1\)
TH2: x > 1
\((1)\Leftrightarrow 3x-1>x^2+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+2<0\)
\(\Leftrightarrow 1<x<2\)
Đối chiếu điều kiện, ta có 1 < x < 2
Vậy tập nghiệm là \(\left ( \frac{1}{3};1 \right )\cup \left ( 1;2 \right )\)
VD4: Giải bất phương trình 
\(log_{\sqrt{10}-3} \ \frac{x+1}{x+3}> log_{\sqrt{10}+3} \ \frac{x-1}{x-3}\)
Giải 
Nhận xét
\(({\sqrt{10}-3})({\sqrt{10}+3})=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{10}-3=(\sqrt{10}+3)^{-1}\)
\(Bpt\Leftrightarrow log_{\sqrt{10}-3} \ \frac{x+1}{x+3}> log_{\sqrt{10}+3} \ \frac{x-1}{x-3}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+3}{x+1}> \frac{x-1}{x-3}\\ \\ \frac{x-1}{x-3}>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-9-(x^2-1)}{(x+1)(x-3)}>0\\\\ \frac{x-1}{x-3}>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-8}{(x+1)(x-3)}>0\\\\ \frac{x-1}{x-3}>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow -1<x<1\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là (-1;1)