Bài 6: Bất phương trình mũ - Phương pháp đưa về cùng cơ số

I. Lý thuyết
+ \(a>1\)  
\(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
+ 0 < a < 1
\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình \(2^{x^2-5x+6}>1\)
Giải
\(Bpt\Leftrightarrow 2^{x^2-5x+6}>2^0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+6>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x<2\\ x>3 \end{matrix}\)
Tập nghiệm là \((-\infty ;2)\cup (3;+\infty )\)
VD2: Giải bất phương trình \(2^{3x+1}>2^{2x-4}\)
Giải
\(BPT \Leftrightarrow 2^{3x+1}>2^{2x-4}\)
\(\Leftrightarrow 3x+1>2x-4\)
\(\Leftrightarrow x>-5\)
Vậy tập nghiệm là \((-5;+\infty )\)
VD3: Giải bất phương trình 
\(\left ( \sqrt{2\sqrt{2}} \right )^{x+1}>(0,125)^x.(0,25)^{2x-1}\)
Giải
\(\sqrt{2\sqrt{2}} =2^\frac{1}{2}.2^\frac{1}{4}=2^\frac{3}{4}\)
\(0,125=\frac{1}{8}=2^-^3\)
\(BPT\Leftrightarrow \left (2^ \frac{3}{4} \right )^{x+1}> \left ( 2^{-3} \right )^x. \left ( 2^-^2 \right )^{2x-1}\)
\(\Leftrightarrow 2^{\frac{3}{4}(x+1)}>2^{-3x}.2^{-4x+2}\)
\(\Leftrightarrow 2^{\frac{3}{4}(x+1)}>2^{-7x+2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{4}(x+1)>-7x+2\)
\(\Leftrightarrow 3x+3>-28x+8\)
\(\Leftrightarrow 31x>5\)
\(\Leftrightarrow x>\frac{5}{31}\)
Vậy tập nghiệm là \((\frac{5}{31};+\infty )\)
VD4: Giải bất phương trình 

\((\sqrt{5}-2)^{\frac{x-3}{x-1}}>(\sqrt{5}+2)^{\frac{x+1}{x+3}}\)
Giải
Xét 
\((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1\Rightarrow \sqrt{5}+2=(\sqrt{5}-2)^{-1}\)
BPT
\((\sqrt{5}-2)^{\frac{x-3}{x-1}}>(\sqrt{5}+2)^{\frac{x+1}{x+3}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}<-\frac{x+1}{x+3} \ \ (do \ 0< \sqrt{5}-2<1 )\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}+\frac{x+1}{x+3} <0\)
ĐK: \(x\neq 1,x\neq -3\)
\(\frac{x^2-9+x^2-1}{(x-1)(x+3)}<0\Leftrightarrow \frac{2(x^2-5)}{(x-1)(x+3)}<0\)
Vậy tập nghiệm là \((-3;-\sqrt{5});(1;\sqrt{5})\)