Bài 7: Bất phương trình mũ - Phương pháp logarit hóa

I. Lý Thuyết 
1. \(a^{f(x)}>b \ \ \ \ 0 <a\neq 1\)

+ \(b\leqslant 0\), tập nghiệm bất phương trình là tập xác định của f(x)
\(+ \left\{\begin{matrix} a>0\\ 0<a<1 \end{matrix}\right.BPT\Leftrightarrow f(x)>log_a b\)
\(+\left\{\begin{matrix} b>0\\ a>1 \end{matrix}\right. BPT \Leftrightarrow f(x)<log_a b\)
2. \(a^{f(x)}<b \ \ , 0<a\neq 1\)
 \(+ \left\{\begin{matrix} b>0\\ a>1 \end{matrix}\right. \ BPT\Leftrightarrow f(x)<log_ab\)
\(+ \left\{\begin{matrix} b>0\\ 0<a<1 \end{matrix}\right. \ BPT\Leftrightarrow f(x)>log_ab\)II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình \(2^{x+2}>3\)
Giải
\(BPT\Leftrightarrow log_22^{x+2}>log_23\)
\(\Leftrightarrow x+2>log_23\)
\(\Leftrightarrow x>log_23 - 2 = log_2\frac{3}{4}\)
Vậy tập nghiệm là \((log_2\frac{3}{4};+\infty )\) 
VD2: Giải bất phương trình \(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}>3^x+3^{x+1}+3^{x+2}\)
Giải
\(BPT \Leftrightarrow 2^x+2.2^x+4.2^x>3^x+3.3^x+9.3^x\)
\(\Leftrightarrow 7.2^x>13.3^x\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^x>\frac{13}{7}\)
\(\Leftrightarrow x< log_\frac{2}{3}\frac{13}{7}\)
Vậy tập nghiệm là \((-\infty ;log_\frac{2}{3}\frac{13}{7})\)
VD3: Giải bất phương trình \(2^{x^2}>3^{x+1}\)
Giải
\(BPT\Leftrightarrow log_22^{x^2}>log_23^{x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2>(x+1)log_23\)
\(\Leftrightarrow x^2-xlog_23-log_23>0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x<\frac{log_23-\sqrt{log^2_23+4log_23}}{2}\\ \\ x>\frac{log_23+\sqrt{log^2_23+4log_23}}{2} \end{matrix}\)
VD4: Giải bất phương trình 
\(2^{3^x}>3^{2^x}\)
\(BPT\Leftrightarrow log_22^{3^x}>log_23^{2x}\)
\(\Leftrightarrow 3^x>2^xlog_23\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{2} \right )^x>log_23\)
\(\Leftrightarrow x>log_\frac{3}{2}\ log_23\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \((log_\frac{3}{2}\ log_23;+\infty )\)