Bài 8: Bất phương trình logarit - Phương pháp đặt ẩn phụ

I. Lý Thuyết
Các kiểu đặt
Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
+ Xem ẩn ban đầu là tham số
+ Bất phương trình tích
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn
Chú ý:
\(1) \ log_{a^\alpha }x=\frac{1}{\alpha }log_a x\)
\(\ log_{\frac{1}{a} }x=-log_a x\)
\(2)\ log_{a }b=\frac{1}{log_b \ a}\)
II. Bài tập
 VD1: Giải bất phương trình 
\(log_2^2x-3log_2x+2>0\)
Giải
Đặt \(t=log_2x\), ta có \(t^2-3t+2>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t< 1\\ t > 2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} log_2x< 1\\ log_2x> 2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 0<x<2\\ x>4 \end{matrix}\)
VD2: Giải bất phương trình 
\(log_2x- 2 log_2x>1\)
Giải
ĐK: \(0< x\neq 1\)
Đặt \(t=log_2x\), ta có:

\(t-\frac{2}{t}>1\Leftrightarrow t-\frac{2}{t}-1>0\)
\(\Rightarrow \frac{t^2-t-2}{t}>0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<t<0\\ t>0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<log_2x<0\\ log_2x>2 \end{matrix}\)\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{1}{2}<x<1\\ x>4 \end{matrix}\)
VD3: Giải bất phương trình 
\(log_5(5^x-1).log_{25}(5^{x+1}-5)\geq 1\)
Giải
\(Bpt\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_5(5^x-1).\left [ log_5 5 +log_5 (5^x-1) \right ]\geq 1\)
Đặt \(t=log_5(5^x-1)\), ta có:
\(t(1+t)\geq 2\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t\leq -2\\ t\geq 1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} log_5(5^x-1)\leq -2\\ log_5(5^x-1)\geq 1 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 0<5^x-1\leq \frac{1}{25}\\ 5^x-1>5 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 1<5^x\leq \frac{26}{25}\\ 5^x> 6 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 0<x\leq log_5\frac{26}{25}\\ x> log_5 6 \end{matrix}\)
VD4: Giải bất phương trình 
\(log_{2x}64 +log_{x^2}16\geq 3\)
Giải

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} 0<2x\neq 1\\ 0<x^2\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0<x\neq \frac{1}{2}\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)
\(Bpt\Leftrightarrow \frac{log_2 64}{log_2 (2x)}+\frac{log_216}{log_2x^2}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{6}{1+log_2x}+\frac{4}{2log_2 x}\geq 3\)
Đặt \(t=log_2x,\) ta có \(\frac{6}{1+t}+\frac{2}{t}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{6t+2(1+t)}{t^2+t}\geq \frac{3t^2+3t}{t^2+t}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3t^2-5t-2}{t^2+t}\leq 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<t<-\frac{1}{3}\\ 0<t<2 \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<log_2x<-\frac{1}{3}\\ 0<log_2x<2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{1}{2}< x< 2\\ 1< x< 4 \end{matrix}\)