Bài 5: Bài toán tương giao giữa các đồ thị

I. Lý thuyết
- Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị y=f(x), y=g(x) là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} y=f(x)\\ y=g(x) \end{matrix}\right.\)
- Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y =f(x), y=g(x) là f(x) = g(x)
Nhận xét: Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm phương trình f(x) = g(x)
- y=f(x), y=g(x) tiếp xúc nhau suy ra hệ \(\left\{\begin{matrix} f(x)=g(x)\\ f'(x)=g'(x) \ co \ nghiem \end{matrix}\right.\)
II. Bài tập
VD1: Cho \(y=\frac{x}{x-1}\)
Tìm m đểm y = -x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Giải
Xét pt hoành độ giao điểm \(y=\frac{x}{x-1}=-x+m\)
ĐK: \(x\neq 1\)
\(\Leftrightarrow x=-x^2+x+mx-m\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx+m=0 \ \ (1)\)
đt \(y=-x+m\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\neq 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =m^2-4m>0\\ 1-m+m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2-4m>0\)
\(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m<0\\ m>4 \end{matrix}\)
VD2: Cho \(y=\frac{x}{x-1} \ (C)\). Tìm m để y = -x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị.
Giải
PT hoành độ giao điểm \(\frac{x}{x-1} =-x+m\)
ĐK: \(x\neq 1\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx+m=0 \ (1)\)
Để \(y=-x+m\) cắt  (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1, thỏa mãn \(x_1<1<x_2\)
Đặt \(t=x=-1\Rightarrow x=t+1\)
(1) Trở thành \((t-1)^2-m(t+1)+m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+(2-m)t+1=0 \ \ (2)\)
\(x_1<1<x_2\Leftrightarrow t_1+1<1<t_2+1\)
\(\Leftrightarrow t_1<0<t_2\)
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thoả mãn \(x_1<1<x_2\)
khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(t_1<0<t_2\)
\(\Leftrightarrow\) để x = 1<0 (Vô lý)
Vậy không tồn tại m để y = -x+m cắt C tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.
VD3: Cho \((C) \ y=x^4-mx^2+m-1\). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Giải
PT hoành độ giao điểm (C) và Ox là
\(x^4-mx^2+m-1=0 \ \ (1)\)
PT trở thành tìm m để (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Đặt \(t=x^2, t \geq 0\) ta có \(t^2-mt+m-1=0\)
Cách 1:
\(PT\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1\\ t=m-1 \end{matrix}\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m-1>0\\ m-1 \neq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m>1\\ m\neq 2 \end{matrix}\right.\)
Cách 2:
(1) Có 4 nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
\(\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ S>0\\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-4(m-1)>0\\ m>0\\ m-1>0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-2)^2>0\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m>1 \end{matrix}\right.\)
VD4: Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt (C) \(y=x^3-3mx^2+9x+1\) tại 3 điểm phân biệt.
Giải
PT hoành độ giao điểm \(x^3-3mx^2+9x+1=1 \ \ (1)\)
\(\Leftrightarrow x^3-3mx^2+9x = 0\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-3mx+9) = 0\)
\(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^2-3mx+9=0 \ \ (2) \end{matrix}\)
y = 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi (1) có 3 nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} \Delta =9m^2-36>0\\ 0^2-3m0+9\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2>4\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m>2\\ m<-2 \end{matrix}\)
VD5: Cho \(y=\frac{2x+1}{x+1}\).
Tìm m đểm y = -2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho \(S_{\Delta OAB}=\sqrt{3}\)
Giải
PT hoành độ giao điểm \(\frac{2x+1}{x+1}=-2x+m\)
ĐK: \(x\neq 1\)
\(\begin{matrix} \Leftrightarrow 2x+1=-2x^2-2x+mx+m\\ \Leftrightarrow 2x^2+(4-m)x+1-m=0 \ \ (1) \end{matrix}\)
y =-2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
ĐK: \(\left\{\begin{matrix} \Delta =(4-m)^2-8(1-m)>0\\ 2-(4-m)+1-m\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+8>0\\ -1\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Vậy \(\forall m \ y=-2x\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Gọi A \(A(x_A; -2x_A+m), \ \ B(x_B; -2x_B+m)\)
\(d(0;AB)=\frac{\left | m \right |}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}}=\frac{\left | m \right |}{\sqrt{5}}\)
do AB: -2x - y + m = 0

\(AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(2x_A-2x_B)^2}\)
\(=\sqrt{5} \sqrt{(x_A-x_B)^2}\)
\(=\sqrt{5} \sqrt{(x_A-x_B)^2-4x_A.x_B}\)
\(=\sqrt{5} \sqrt{\left ( \frac{m-4}{2} \right )^2-4.\frac{1-m}{2}}=\sqrt{5}.\sqrt{\frac{m^2+8}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2} .\sqrt{m^2+8}\)
\(S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}.d(O;AB).AB=\frac{1}{4}.\left | m \right |.\sqrt{m^2+8}\)
\(S_{\Delta OAB}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\left | m \right |.\sqrt{m^2+8}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow m^2(m^2+8)=48\)
\(\Leftrightarrow m^4+8m^2-48=0\)
\(\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m^2=4\\ m^2=-12 \ (loai) \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow m=\pm 2\)
Vậy \(m\in \left \{ -2;2 \right \}\)