Bài 1: Nguyên hàm - Phương pháp biến đổi về nguyên hàm cơ bản

I. Lý Thuyết
a. Định nghĩa
F(x) xác định trên K đgl nguyên hàm của f(x) nếu \(F'(x)=f(x) \ \forall x\in K\)
VD: x³ là nguyên hàm của 3x²
Vì \((x^3)'=3x^2\)
-sinx là 1 nguyên hàm của cosx
Vì \((cosx)'=-sinx\)
b. Nhận xét
Nếu F(x) là 1 nghiệm của f(x) thì F(x) + C (C là hằng số) là nguyên hàm của f(x)
\(\int f(x)dx=F(x)+C\)
c) Các tính chất
\(\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx=\int f(x)dx +\int g(x)dx\)
\(\int f'(x)dx=f(x)+C\)
\(\int k.f(x)dx=k.\int f(x)dx. \ \ (k\neq 0)\)

d) Các nguyên hàm cơ bản
\(\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \neq -1)\)
\(\int \frac{dx}{x}=ln\left | x \right |+C\)

\(\int sin x dx = - cosx + C\)
\(\int cos x dx = sinx+C\)
\(\int u^\alpha du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\)
\(\int \frac{du}{u}=ln\left | u \right |+C\)
\(\int sinu dx = - cosu + C\)
\(\int cos u du = sinu+C\)

\(\int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+C(0< a\neq 1)\)
\(\int e^xdx=e^x+C\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C\)
\(\int \frac{dx}{sin^2x}=-cot x +C\)
\(\int \frac{dx}{cos^2x}=tan x +C\)

\(\int a^udu=\frac{a^u}{lna}+C\)
\(\int e^udu=e^u+C\)
\(\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C\)
\(\int \frac{du}{sin^2u}=-cotu+C\)
\(\int \frac{du}{cos^2u}=tan u+C\)

II. Bài tập

VD1: Tính \(I_1=\int \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}dx\)
Giải
\(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}dx=x^\frac{1}{2}.x^\frac{1}{4}.x^\frac{1}{8}=x^\frac{7}{8}\)

\(I_1=\int x^\frac{7}{8}dx=\frac{x^\frac{7}{8}+1}{\frac{7}{8}+1}+C=\frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}}+C\)
VD2: Tính \(I_2=\int (x^2+x+1)^2dx\)
Giải

\(I_2=\int (x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x)dx\)
\(=\int (x^4+2x^3+3x^2+2x+1)dx\)
\(=\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}+x^3+x^2+x+C\)
VD3: Tính \(I_3=\int sin^2xdx\)
Giải

\(I_3=\frac{1}{2}\int (1- cos2x)=\frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{4}\int cos2x d2x\)

\(=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin2x+C\)
VD4: Tính \(I_4=\int 2^x.3^{x+1}dx\)
Giải
\(I_4=\int 3.6^xdx=3.\frac{6^x}{ln6}+C\)
VD5: Tính \(I_5=\int \frac{dx}{3x+4}\)
Giải

d(3x + 4) = 3 dx
\(I_5=\frac{1}{3}\int \frac{d(3x+4)}{3x+4}=\frac{1}{3} ln \left | 3x+4 \right |+C\)

VD6: Tính \(I_6= \int \frac{dx}{sin^2 \frac{x}{2}}\)

Giải
\(d\frac{x}{2} = \frac{1}{2}dx \Rightarrow dx = 2d\frac{x}{2}\)
\(I_2=2.\int \frac{d\frac{x}{2}}{sin^2\frac{x}{2}} =- 2cot\frac{x}{2}+C\)