Bài 6: Ứng dụng tích có hướng chứng minh bốn điểm không đồng phẳng

I. Tính có hướng của hai vectơ
\(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\)
\(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\)
\(\left [ \vec{a},\vec{b} \right ]=\left ( \begin{vmatrix} y_1 \ \ \ z_1\\ y_2 \ \ \ z_2 \end{vmatrix}\left; \begin{vmatrix} z_1 \ \ \ x_1\\ z_2 \ \ \ x_2 \end{vmatrix} ;\begin{vmatrix} x_1 \ \ \ y_1\\ x_2 \ \ \ y_2\\ \end{vmatrix}\right )\)
\(=(y_1z_2-y_2z_1;z_1x_2-z_2x_1; x_1y_2-x_2y_1)\)
1) \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) không đồng phẳng khi và chỉ khi 
\(\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}\neq 0\)
Suy ra A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0\)
2) \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) đồng phẳng khi và chỉ khi 
\(\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].\vec{c}= 0\)


A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}=0\)
II. Bài tập
VD1: Cho A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)
a) CMR: A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện
b) Tìm m để M(m;1;2) thuộc (BCD)
Giải
a)
\(\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)\)
\(\overrightarrow{AC}=(-1;1;0)\)
\(\overrightarrow{AD}=(-3;1;-1)\)
\(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 0 \ \1\\ 1 \ \ 0 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \ \ -1\\ 0 \ \ -1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -1 \ \0\\ -1 \ \ 1 \end{vmatrix}\right )=(-1;-1;-1)\)
\(\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}= -1(-3)+(-1).1+(-1).(-1)=3\neq 0\)
A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b)
\(M\in (BCD)\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD} \right ].\overrightarrow{BM}=0(1)\)
\(\left.\begin{matrix} \overrightarrow{BC}=(0;1;-1)\\ \overrightarrow{BD}=(-2;1;-2) \end{matrix}\right\}\left [\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right ] =\left ( \begin{vmatrix} 1 \ \ -1\\ 1 \ \ -2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 \ \ 0\\ -2 \ \ -2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 \ \ 1\\ -2 \ \ 1 \end{vmatrix} \right )=(-1;2;2)\)
\(\overrightarrow{BM}=(m;1;0)\)
\((1)\Leftrightarrow -1.m+2.1+2.0=0\)
\(\Leftrightarrow -m+2=0\Leftrightarrow m=2\)
VD2: Cho A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1)
a) Tìm giao điểm của Ox với (ABC)
b) Tìm giao điểm của Oy với (ABC)
Giải
a)
\(M=Ox\cap (ABC)\)
\(\Rightarrow M\in Ox\Rightarrow M(m;0;0)\)
\(\overrightarrow{AB}=(2;-1;0)\)
\(\overrightarrow{AC}=(2;0;-2)\)
\(\left [ \overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC} \right ] =\left ( \begin{vmatrix} -1 \ \ 0\\ 0\ \ -2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 \ \ 2\\ -2\ \ 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \ \ -1\\ 2\ \ 0 \end{vmatrix} \right )=(2;4;2)\)
\(\overrightarrow{AM}=(m+2;0;-1)\)
\(M\in (ABC)\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AM}=0\)
\(\Leftrightarrow 2(m+2)+0.4+(-1).2=0\)
\(\Leftrightarrow 2(m+2)=2\)
\(\Leftrightarrow m+2=1\)
\(\Leftrightarrow m=-1\)
b)
\(N=Oy\cap (ABC)\)
\(\Rightarrow N\in Oy\Rightarrow N(0;n;0), \overrightarrow{AN}=(2;n;-1)\)
\(\Leftrightarrow 2.2+4.n-1.2=0\)
\(\Leftrightarrow 4.n=-2\)
\(\Leftrightarrow n=-\frac{1}{2}\)
Vậy \(N\left ( 0;-\frac{1}{2};0 \right )\)