Bài 2: Phương trình logarit - Phương pháp đưa về cùng cơ số

I, Lý Thuyết
Cho \(0<a\neq 1\)
\(log_af(x)=log_a g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
II. Bài tập

VD1: Giải phương trình 
\(log_3(-x+2)=log_3x^2\)
Giải
\(PT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -x+2>0\\ -x+2=x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<2\\ x^2+x-2=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<2\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-2 \end{matrix} \end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm {-2;1}
VD2: Giải phương trình  
\(log_4(x+2)=log_2x\)
Giải

\(Pt\Leftrightarrow log_{2^2}(x+2)=log_2x\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}log_2(x+2)=log_2x\)
\(\Leftrightarrow log_2\sqrt{x+2}=log_2x\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ \sqrt{x+2}=x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x+2=x^2 \ (1) \end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1 \ \ (loai)\\\ x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là {2}
VD3: Giải phương trình 
\(log_{2+\sqrt{3}}(x+1)=log_{2-\sqrt{3}}(x+2)\)
Giải
Nhận xét
\((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\Rightarrow 2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-1}\)
\(pt\Leftrightarrow log_{2+\sqrt{3}}(x+1)=log_{(2+\sqrt{3})^{-1}}(x+2)\)
\(\Leftrightarrow log_{2+\sqrt{3}}(x+1)=log_{2+\sqrt{3}}\frac{1}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1>0\\ x+1=\frac{1}{x+2}(1) \end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow (x+1)(x+2)=1\)  (do x + 1 > 0 nên x + 2 > 0)
 \(\Leftrightarrow x^2+3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \ (loai)\\ x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(\left \{ \frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right \}\)
Chú ý: \((a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=1\Rightarrow a-\sqrt{b}=(a+\sqrt{b})^{-1}\)
VD4: Giải phương trình \(log_{\sqrt{3}}x-log_{\sqrt{3}}(3x-4)=-2\)
Giải
ĐK \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ 3x-4>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>\frac{4}{3}\)
\(pt\Leftrightarrow log_{\sqrt{3}}x = log_{\sqrt{3}}(3x-4)-log_{\sqrt{3}}3\)
\(\Leftrightarrow log_{\sqrt{3}}x=log_{\sqrt{3}}\frac{3x-4}{3}\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3x-4}{3}\\ x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0x=-4 \ (VN)\\ x>0 \end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(\varnothing\)
VD5: Giải phương trình 
\(\frac{3}{2}log_{\frac{1}{4}}(x+2)^2-3=log_{\frac{1}{4}}(4-x)^3+log_{\frac{1}{4}}(x+6)^3\)
Giải
\(\left\{\begin{matrix} (x+2)^2>0\\ (4-x)^3>0\\ (x+6)^3>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq -2\\ x<4\\ x>-6 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -6<x<4\\ x\neq -2 \end{matrix}\right.\)
\(pt\Leftrightarrow 3log_{\frac{1}{4}}\left | x+2 \right |-3=3log_{\frac{1}{4}}(4-x)+ 3log_{\frac{1}{4}}(x+6)\)
\(\Leftrightarrow log_{\frac{1}{4}}\left | x+2 \right |=log_{\frac{1}{4}} \frac{(4-x)(x+6)}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left | x+2 \right |= \frac{(4-x)(x+6)}{4} \ \ (1)\)
TH1:
\(-2<x<4\) khi đó \(\left | x+2 \right |=x+2\)
\(pt \ (1)\Leftrightarrow x+2=\frac{(4-x)(x+6)}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4x+8=-x^2-2x+24\)
\(\Leftrightarrow x^2+6x-16=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=-8 (loai) \end{matrix}\)
TH2:
\(-6<x<-2\) khi đó \(\left | x+2 \right |=-(x+2)\)
\(pt \ (1)\Leftrightarrow -x-2=\frac{(4-x)(x+6)}{4}\)
\(\Leftrightarrow -4x-8=-x^2-2x+24\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-32=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1-\sqrt{33} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=1+\sqrt{33} \ (loai) \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(\left \{ 2;1-\sqrt{33} \right \}\)