Bài 9: Bất phương trình mũ - Phương pháp hàm số

I. Lý thuyết
1) y = a^x 
a > 1: y = a^x ​ đồng biến trên R
0 < a < 1: y = a^x ​ nghịch biến trên R
2) Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
3) Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
4) f(x) đồng biến trên D
   g(x) nghịch biến trên D
⇒ f(x) - g(x) đồng biến trên D
II. Bài tập
VD1: Giải bất phương trình \(2^x>3-x\)
Giải
BPT \(2^x+x>3\)
+ x > 1   \(2^x>2\Rightarrow 2^x+x>3\) (thỏa mãn)
+ \(x\leqslant 1 \ \ \ 2^x\leqslant 2\Rightarrow 2^x+x\leqslant 3\) (không thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm BPT là \((1;+\infty )\)
VD2: Giải bất phương trình
\((\frac{1}{3})^x>x+4\)

Giải
+ \(x <-1\)
\(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{1}{3} \right )^x>\left ( \frac{1}{3} \right )^{-1}=3\\ \\ x+4<3 \end{matrix}\right\}VT>3>VP\) (thỏa mãn)
+ \(x\geqslant -1\)
\(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{1}{3} \right )^x\leq \left ( \frac{1}{3} \right )^{-1}=3\\ \\ x+4\geq 3 \end{matrix}\right\}\rightarrow VT\leqslant 3\leqslant VP\) (Không thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm \((-\infty ;-1)\)
VD3: Giải bất phương trình
\(2^{2^x}+2^x> 2^{x+1}+x+1 \ \ (1)\)
Giải
Xét f(t) = 2^t +t
f'(t) = 2^t ln2 + 1> 0
Vậy f(t) đồng biến trên R
\((1)\Leftrightarrow f(2^x)>f(x+1)\Leftrightarrow 2^x>x+1\)
\(\Leftrightarrow 2^x-x-1>0\)
Xét \(g(x)=2^x-x-1\) trên R
\(g'(x)=2^xln2-1\)
\(g''(x)=2^xln^22>0\)

Từ BBT ta có 
\(\bigg \lbrack\begin{matrix} x<0\\ x>1 \end{matrix}\)
Vậy tâp nghiệm \((-\infty ;0)\cup (1;+\infty )\)
VD4: Giải bất phương trình 
\(3^x+4^x>5^x\)
Giải

\(bpt\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^x+\left ( \frac{4}{5} \right )^x>1\)
+ x < 2
\(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{3}{3} \right )^x>\left ( \frac{3}{5} \right )^2\\ \\ \left ( \frac{4}{5} \right )^2>\left ( \frac{4}{5} \right )^2 \end{matrix}\right\}\left ( \frac{3}{5} \right )^x+\left ( \frac{4}{5} \right )^x>1\) (thỏa mãn)
+ \(x\geq 2\) tương tự ta có
\(\left ( \frac{3}{5} \right )^x+\left ( \frac{4}{5} \right )^x\leq 1\)
Vậy tập nghiệm là \((-\infty ;2)\)