Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

VD1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(3;0;-1), B(1;3;-2), C(3;-4;1). Tìm N thuộc (Oyz) sao cho NA = NB = NC.
Giải
(Oyz) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT
\vec{i}=(1;0;0) nên có pt: x = 0
N\in (Oyz)\Rightarrow N(o;b;c)
\left\{\begin{matrix} NA=NB\\ NA=NC \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} NA^2=NB^2\\ NA^2=NC^2 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (0-3)^2+(b-0)^2+(c+1)^2=(0-1)^2+(b-3)^2+(c+2)^2\\ (0-3)^2+(b-0)^2+(c+1)^2=(0-3)^2+(b+4)^2+(c-1)^2 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9+b^2+c^2+2c+1=1+b^2-6b+9+c^2+4c+4\\ 9+b^2+c^2+2c+1=9+b^2+8b+16+c^2-2c+1 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6b-2c=4\\ 8b-4c=-16 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3b-c=2\\ 2b-c=-4 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=6\\ c=16 \end{matrix}\right.
Vậy N(0;6;16)
VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;1), B(0;-1;2), C(1;0;3). Tìm tọa độ điểm P thuộc (Oxy) sao cho
a) \ \left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | \ \ {min}
b) \ PA^2+PB^2+PC^2 \ \ min
Giải
(Oxy) đi qua O và có 1 VTPT \vec{k}=(0;0;1)
pt (Oxy): z = 0 
P\in (Oxy)\Rightarrow P(a;b;0)
a) G là điểm sao cho \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C)=\frac{1}{3}(2+0+1)=1 \ \ \\ y_G=\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C)=\frac{1}{3}(3+(-1)+0)=\frac{2}{3}\\ z_G=\frac{1}{3}(z_A+z_B+z_C)=\frac{1}{3}(1+2+3)=2 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
G(1;\frac{2}{3};2)
Cách 1:
\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | =\left | 3\overrightarrow{PG} \right |=3PG
\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | \ \ {min}\Leftrightarrow PG \ min
⇔ P là hình chiếu của G lên (Oxy)
\Leftrightarrow P(1;\frac{2}{3};0)

Cách 2:
\overrightarrow{PA}=(2-a;3-b;1)
\overrightarrow{PB}=(-a;-1-b;2)
\overrightarrow{PC}=(1-a;-b;3)
\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} = (3-3a;2-3b;6)
\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right |= \sqrt{(3-3a)^2+(2-3b)^2+6^2}\geq 6
\left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right | _{min}= 6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-3a=0\\ 2-3b=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.
Vậy P(1;\frac{2}{3};0)
b)
Cách 1:
T=PA^2+PB^2+PC^2=\overrightarrow{PA}^2+\overrightarrow{PB}^2+ \overrightarrow{PC}^2
=(\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA})^2+ (\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB})^2+ (\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC})^2
=PG^2+2\overrightarrow{PG}.\overrightarrow{GA}+GA^2+PG^2+ 2\overrightarrow{PG}.\overrightarrow{GB}+GB^2+PG^2+2 \overrightarrow{PG}.\overrightarrow{GC}+GC^2
=3PG^2+2\overrightarrow{PG}\underset{\overrightarrow{0}}{(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC})}+GA^2+GB^2+GC^2
=3PG^2+\underset{0 \ doi}{GA^2+GB^2+GC^2}
T_{min}\Leftrightarrow 3PG^2_{min} mà P \in(Oxy) nên P là hình chiếu của G trên (Oxy)
Suy ra P(1;\frac{2}{3};0)
Cách 2:
PA^2=(2-a)^2+(3-b)^2+1=a^2+b^2-4a-6b+14
PB^2=(-a)^2+(-1-b)^2+2^2=a^2+b^2+2b+5
PC^2=(1-a)^2+(-b)^^2+3^2=a^2+b^2-2a+10
PA^2+PB^2+PC^2=3a^2-6a+3b^2-4b+29
=3(a^2-2a+1)+3(b^2-\frac{4}{3}b+\frac{4}{9})+\frac{223}{9}
=3(a-1)^2+3(b-\frac{2}{3})^2+\frac{223}{9}\geq \frac{223}{9}
T_{min}=\frac{223}{9} \ khi \ \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.
Vậy P(1;\frac{2}{3};0)
VD3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;3;1), B(0;0;2), C(1;0;3). Tìm điểm M trên (Oxz) sao cho \left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |_{min}
Giải
Cách 1:
Gọi I(a;b;c) là điểm sao cho \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}
\overrightarrow{IA}=(2-a;3-b;1-c)
\overrightarrow{IB}=(-a;-b;2-c)\Rightarrow 2\overrightarrow{IB}=(-2a;-2b;4-2c)
\overrightarrow{IC}=(1-a;-b;3-c)\Rightarrow 3\overrightarrow{IC}=(3-3a;-3b;9-3c)
\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} =(5-6a;3-6b;14-6c)
\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} =\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5-6a=0\\ 3-6b=0\\ 14-6c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{6}\\ \\ b=\frac{1}{2}\\ \\c=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.
I(\frac{5}{6};\frac{1}{2};\frac{7}{3})
\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})
=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=6\overrightarrow{MI}
T=\left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3 \overrightarrow{MC} \right |=6MI
Tmin ⇔ MI min, mà M\in (Oxz)
nên M là hình chiếu của I trên (Oxz) hay M(\frac{5}{6};0;\frac{7}{3})
Cách 2:
M\in (Oxz)\Rightarrow M(a;0;c)
\overrightarrow{MA}=(2-a;3;1-c)
\overrightarrow{MB}=(-a;0;2-c)\Rightarrow 2\overrightarrow{MB} =(-2a;0;4-2c)
\overrightarrow{MC}=(1-a;0;3-c)\Rightarrow 3\overrightarrow{MC} =(3-3a;0;9-3c)
\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=( 5-6a;3,14-6c)
T=\left | \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |=\sqrt{(5-6a)^2+9+(14-6c)^2}\geq 9
T_{min}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5-6a=0\\ 14-6c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{6}\\ \\ c=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.
Vậy M(\frac{5}{6};0;\frac{7}{3})
Chú ý: 
Nếu x\overrightarrow{IA}+y\overrightarrow{IB}+z\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}
Thì x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}= (x+y+z).\overrightarrow{MI}

Giảm 60% học phí 700.000đ 280.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
1
00:55:29 Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Hỏi đáp
10 Bài tập
3
Kiểm tra: Đề thi online Xác định khoảng đơn điệu của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
26/04/2017 - 02/05/2017
8
05/05/2017 Bài 7: Bài toán tìm cực trị
Hỏi đáp
12 Bài tập
10
07/05/2017 Bài 9: Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
Hỏi đáp
17 Bài tập
11
08/05/2017 Bài 10: Tiệm cận
Hỏi đáp
15 Bài tập
12
Kiểm tra: Đề thi online Tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/05/2017 - 14/05/2017
13
09/05/2017 Bài 11: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
14
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
10/05/2017 - 16/05/2017
22
20/05/2017 Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Hỏi đáp
10 Bài tập
23
22/05/2017 Bài 2: Tính thể tích bằng cách trực tiếp
Hỏi đáp
19 Bài tập
24
24/05/2017 Bài 3: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Hỏi đáp
12 Bài tập
26
27/05/2017 Bài 5: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
27
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Khối đa diện
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
28/05/2017 - 03/06/2017
28
30/05/2017 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
29
31/05/2017 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
04/06/2017 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
34
07/06/2017 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
08/06/2017 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
10/06/2017 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
12/06/2017 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
13/06/2017 - 19/06/2017
39
14/06/2017 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
16/06/2017 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
28/06/2017 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
Hỏi đáp
5 Bài tập
47
Kiểm tra: Đề thi online phần Ứng dụng tích vô hướng, có hướng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
29/06/2017 - 05/07/2017
48
30/06/2017 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
51
04/07/2017 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
07/07/2017 - 13/07/2017
57
11/07/2017 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
13/07/2017 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
15/07/2017 - 21/07/2017
61
16/07/2017 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
23/07/2017 - 29/07/2017
66
24/07/2017 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
67
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
25/07/2017 - 31/07/2017
68
26/07/2017 Bài 1: Lũy thừa
Hỏi đáp
5 Bài tập
70
29/07/2017 Bài 3: Phương trình mũ - Phương pháp logarit hóa
Hỏi đáp
5 Bài tập
72
02/08/2017 Bài 5: Phương trình mũ - Phương pháp hàm số
Hỏi đáp
5 Bài tập
73
Kiểm tra: Đề thi online Phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
02/08/2017 - 08/08/2017
77
78
Kiểm tra: Đề thi online Bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
06/08/2017 - 12/08/2017
79
07/08/2017 Bài 9: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
80
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/08/2017 - 14/08/2017
107
14/09/2017 Bài 1: Các khái niệm cơ bản
Hỏi đáp
108
16/09/2017 Bài 2: Phép toán với số phức
Hỏi đáp
109
18/09/2017 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
110
20/09/2017 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
111
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Số phức
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
21/09/2017 - 27/09/2017
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp