Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước

22/08/2016 16:22

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm m để hàm số đơn điệu trên một miền
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Ứng dụng tính đơn điệu giải bất phương trình
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Bài toán tìm cực trị hàm số

Tìm tham số để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước, một dạng toán rất hay xuất hiện trong các đề thi, điển hình là ở kì thi THPT Quốc gia 2016 môn Toán đã có một câu hỏi về nội dung này. Đây là một toán nếu học kĩ lý thuyết, nắm vững kĩ thuật làm bài là hoàn toàn có thể giải được, nó không cần tư duy quá nhiều. Hôm nay xin mời các em theo dõi bài giảng của thầy Phạm Sỹ Nam về dạng toán này. Video được trích từ khóa luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 2017

I. Một số vấn đề lý thuyết cần nắm

a) Cực trị của hàm số bậc ba

+ Hàm số: $y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left ( a\neq 0 \right )$

+ Đạo hàm: $y' = f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c$

+ Điều kiện tồn tại cực trị:

Hàm số $y=f(x)$ có cực trị khi và chỉ khi $y = f(x)$ có cực đại cực tiểu $\Leftrightarrow f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ' = {b^2} - 3ac > 0$

b) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

Bước 1: Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta có:

$f(x) = \left[ {\frac{1}{3}x + \frac{b}{{9a}}} \right]f'(x) + \frac{2}{3}\left[ {c - \frac{b}{{3a}}} \right]x + \left( {d - \frac{{bc}}{{9a}}} \right)$

Tức là:

$f(x) = q(x).f'(x) + r(x)$

Bước 2:

Do: $\left\{ \begin{array}{l} f'({x_1}) = 0\\ f'({x_2}) = 0 \end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {y_1} = f({x_1}) = r({x_1}) = \frac{2}{3}(c - \frac{b}{{3a}}){x_1} + (d - \frac{{bc}}{{9a}})\\ {y_2} = f({x_2}) = r({x_2}) = \frac{2}{3}(c - \frac{b}{{3a}}){x_2} + (d - \frac{{bc}}{{9a}}) \end{array} \right.$

Hệ quả: đường thẳng qua cực đại cực tiểu có phương trình:

$Y = r(x)$ hay $y = \frac{2}{3}(c - \frac{b}{{3a}}) + (d - \frac{{bc}}{{9a}})$

b) Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

Xét hàm: $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$

Ta có:

$f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx = 4ax\underbrace {\left( {{x^2} + \frac{b}{{2a}}} \right)}_{t\left( x \right)}$

Trường hợp 1: $ab \ge 0$ Khi đó $t(x)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x=0 =>f'(x)$ có nghiệm duy nhất $x=0$ và $f'(x)$ đổi dấu đúng một lần khi $x$ đi qua $0 =>f(x)$ chỉ có một cực trị.
Trường hợp 2: $ab<0$ . Khi đó $t(x)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0 =>f'(x)$ có ba nghiệm và $f'(x)$ đổi dấu liên tiếp khi $x$ đi qua ba nghiệm này $=>f(x)$ có ba cực trị.

Một số kết quả cụ thể:

+ $f$ có một cực trị $\Leftrightarrow ab \ge 0$

+ $f$ có ba cực trị $\Leftrightarrow ab < 0$

+ $f$ có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ b \ge 0 \end{array} \right.$

+ $f$ có đúng một cực trị và cực trị là cực đại $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ b \le 0 \end{array} \right.$

+ $f$ có hai cực tiểu và một cực đại $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ b < 0 \end{array} \right.$

+ $f$ có một cực tiểu và hai cực đại $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ b > 0 \end{array} \right.$

Tiếp theo xin mời các em theo dõi cách giải một số bài tập ví dụ thông qua bài giảng của thầy TS. Phạm Sỹ Nam - Giáo viên: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Tp. HCM đồng thời là giảng viên: Trường Đại Học Sài Gòn, đang giảng dạy tại Hoc247.vn về dạng toán Tìm tham số để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước, để biết cách vận dụng các vấn đề lý thuyết trên vào việc giải bài tập.

Để tham gia các bài giảng chất lượng khác của thầy, các em có thể tham khảo toàn bộ khoá luyện THPT Quốc gia môn Toán năm 2017

Chúc các em học tập tốt, chuẩn bị sẵn sàng kiến thức để tham gia kì thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 tự tin đạt thành tích cao nhất!

(Mod Toán)

Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU