Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Ứng dụng tính đơn điệu giải bất phương trình

20/08/2016 17:08

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm m để hàm số đơn điệu trên một miền
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình

Bất phương trình rất nhiều lại và có rất nhiều cách giải và chính vì sự đa dạng một dạng toán khó nếu có xuất hiện trong các đề thi. Bài giảng hôm nay xin giới thiệu đến các em một cách giải Bất phương trình rất hay bằng cách ứng dụng rất hay của tính đơn điệu của hàm số với video bài giảng hướng dẫn của thầy Sỹ Nam được trích từ khóa luyện THPT Quốc gia môn Toán năm 2017.

Ứng dụng tính đơn điệu giải bất phương trình dựa vào tính tính đồng biến và nghịch biến của hàm số như sau:

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên R thì f(x) > f(b) ⇒ a > b
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên R thì f(x) > f(b) ⇒ a < b

Một số ví dụ:

VD1: Giải bất phương trình $3\sqrt{3-2x}+\frac{5}{\sqrt{2x-1}}-2x\leq 6$
Giải
ĐK: $\left\{\begin{matrix} 3-2x\geq 0\\ 2x-1> 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq \frac{3}{2}\\ x>\frac{1}{2} \end{matrix}\right .\Rightarrow \frac{1}{2}<x\leq \frac{3}{2}$
Xét $f(x)=3\sqrt{3-2x}+\frac{5}{2x-1}-2x-6$ trên $\bigg(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\bigg ]$
$f'(x)=\frac{3(3-2x)'}{2\sqrt{3-2x}}-\frac{5(\sqrt{2x-1})'}{2x-1}-2$
$f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{3-2x}}-\frac{5}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}-2<0$
f(x) nghịch biến trên $\bigg(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\bigg ]$
BPT $\Leftrightarrow f(x)\leq f(1)$
Vậy tập nghiệm là $\left [ 1;\frac{3}{2} \right ]$
VD2: Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+15}>3x-2+\sqrt{x^2+8}$
Giải
TH1: $3x-2\leq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{2}{3}$
lại có $\sqrt{x+8}<\sqrt{x^3+15}, \ \forall x\leqslant \frac{2}{3}$
suy ra $3x-2+\sqrt{x^2+8}<\sqrt{x^2+15}$
BPT nghiệm đúng
TH2: $x>\frac{2}{3}$
Xét $f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2$ trên $(\frac{3}{2};+\infty )$
$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+15}}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+8}}-3$
$=x\left (\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}} \right )-3<0$
f(x) nghịch biến trên $(\frac{3}{2};+\infty )$
BPT $f(x)>f(1)=0$
KL: Tập nghiệm bpt là $(-\infty ;1)$
Bằng cách nào ta làm được các ví dụ được các kết quả như trên, giải các ví dụ và bài tập tương tự như thế nào, mời các em hãy theo dõi bài giảng của thầy TS. Phạm Sỹ Nam - Giáo viên: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Tp. HCM đồng thời là giảng viên: Trường Đại Học Sài Gòn, đang giảng dạy tại Hoc247.vn về dạng toán Ứng dụng tính đơn điệu giải bất phương trình: