Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình

19/08/2016 12:08

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Tìm m để hàm số đơn điệu trên một miền

Ơ những bài giảng trước ta đã được tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số. Bài giảng hôm nay xin giới thiệu đến các em một ứng dụng rất hay của tính đơn điệu của hàm số là giải phương trình với video bài giảng của thầy Sỹ Nam được trích từ khóa luyện THPT Quốc gia môn Toán năm 2017.

Để có thể Ứng dụng được tính đơn điệu để giải phương trình, các em cần năm một số vấn đề lý thuyết sau:

- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì pt f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trên (a;b) (Nhẩm nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất)
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b), $u,v\in (a;b),f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v$
- Nếu f(x) = 0 có tối đa n nghiệm trên (a;b) thì f(x) = 0 có tối đa n +1 nghiệm trên (a;b)

Một số ví dụ về dạng bài tập này trích ra từ video bài giảng của thầy Phạm Sỹ Nam:

VD1: Giải pt $\sqrt{x^2+15}=3x-2+\sqrt{x^2+8}$
Giải
PT $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2=0$
TH1: x>0
Xét $f(x)=\sqrt{x^2-15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2$ trên
$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3$
$=x(\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}})-3<0$
Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$
x = 1 là nghiệm
x > 1 do hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $f(x)<f(1)=0$
0 < x < 1 do hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $f(x)>f(1)=0$
x = 1 là nghiệm duy nhất trên $(0;+\infty )$
$\sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8}$
$0>3x-2$
$\Rightarrow$ VT > VB
$x\leq 0$ không t/m
Kết luận: Tập nghiệm S={1}

VD2: Giải pt $8x^3+2x=(x+2)\sqrt{x+1}$
Giải

ĐK: $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$

$pt\Leftrightarrow 8x^3+2x=(x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ trên R
$f'(t)=3t^2+1>0$
$\Rightarrow f(1)$ đồng biến trên R
$(*)\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt{x+1})$

$\Leftrightarrow 2x=\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq 0\\ 4x^2=x+1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.$
Vậy tập nghiệm là $\left \{ x=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \right \}$

Để hiểu rõ hơn về cách làm các ví dụ trên, cũng như làm được các bài tập khác của dạng toán này, mời các em hãy theo dõi bài giảng của thầy TS. Phạm Sỹ Nam - Giáo viên: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Tp. HCM đồng thời là giảng viên: Trường Đại Học Sài Gòn, đang giảng dạy tại Hoc247.vn về dạng toán Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình:

Để tham gia các bài giảng chất lượng khác của thầy, các em có thể tham khảo toàn bộ khoá luyện THPT Quốc gia môn Toán năm 2017

Chúc các em học tập tốt, chuẩn bị sẵn sàng kiến thức để tham gia kì thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 tự tin đạt thành tích cao nhất!

(Mod Toán)

Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU