Phương trình lượng giác - Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức

25/08/2016 16:32

» Phương trình lượng giác - Phần 6: Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích
» Phương trình lượng giác-Phần 6: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa
» Phương trình lượng giác - Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)
» Tổng hợp phương trình lượng giác trong các đề thi từ năm 2002 đến nay
» Hình học không gian - P1: Các công thức đã học ở lớp 9-10 cần nhớ
» Hình học không gian - P.2 Tổng hợp lý thuyết lớp 11

Bài viết giới thiệu các biện pháp xử lý khi gặp phương trình lượng giác chứa căn thức, bên cạnh đó là các ví dụ mẫu có thể giúp các em hình thành được cách làm và giải được các bài tập tương tự.

Phương pháp giải chung

Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
Chọn phương pháp giải cho phù hợp
Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
Một số phương pháp giải.

1. Biến đổi tương đương

Dạng 1: $\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x) \ge 0$ (với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa)

Dạng 2: $\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) \ge 0{\rm{ }}}\\ {f(x) = {g^2}(x)} \end{array}} \right.$ (g(x) có nghĩa)

Dạng 3: $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) \ge 0{\rm{ }}}\\ {g(x) \ge 0{\rm{ }}}\\ {f(x) + g(x) + 2\sqrt {f(x)g(x)} = h(x)} \end{array}} \right.$

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp.

Một số phép đặt ẩn phụ thường gặp

Nếu bài toán chứa:

$\sqrt {f(x)} \,va\,f(x)$ đặt $t = \sqrt {f(x)}$ , điều kiện $t \ge 0$ , $f(x) = {t^2}$
$\sqrt {f(x)} ,\sqrt {g(x)}$ và $\sqrt {f(x)} .\sqrt {g(x)} = k$ (k: hằng số), ta đặt $t = \sqrt {f(x)}$ , điều kiện $t \ge 0$ . Khi đó: $\sqrt {g(x)} = \frac{k}{t}$
$\sqrt {f(x)} \pm \sqrt {g(x)}$ và $f(x) + g(x) = k$ (k: hằng số), ta đặt: $t = \sqrt {f(x)} \pm \sqrt {g(x)}$

Khi đó: $\sqrt {f(x)g(x)} = \frac{{{t^2} - k}}{2}$

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình vô tỉ như sau:

+ Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.

+ Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương trình với hai ẩn phụ.

+ Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x.

3. Ví dụ minh họa:

VD1: Giải phương trình: $\sqrt {5\cos x - c{\rm{os}}2x} = - 2\sin x(1)$

Giải:

$(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2\sin x \ge 0{\rm{ }}}\\ {5\cos x - \cos 2x = 4{{\sin }^2}x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x \le 0{\rm{ (1')}}}\\ {5\cos x - \cos 2x = 4{{\sin }^2}x{\rm{ (2')}}} \end{array}} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l} (2') \Leftrightarrow 5\cos x - \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 5\cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = \frac{1}{2}}\\ {\cos x = - 3(loai)} \end{array}} \right. \end{array}$

Với $\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\ {x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Kết hợp với điều kiện (1') suy ra nghiệm của (1) là: $x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

VD2: Giải phương trình: $\frac{{{{\sin }^2}2x + {{\cos }^4}2x - 1}}{{\sqrt {\sin x\cos x} }} = 0 (2)$

Giải:

$\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x\cos x > 0{\rm{ }}}\\ {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^4}2x - 1 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin 2x > 0{\rm{ }}}\\ {{{\cos }^4}2x - {{\cos }^2}2x = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin 2x > 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^2}2x = 0}\\ {{{\cos }^2}2x = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (2) là: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

VD3: Giải phương trình: $(1 + \tan x){\cos ^3}x + (1 + \cot x)\sin {}^3x = \sqrt {2\sin 2x} (3)$

Điều kiện:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x \ne 0}\\ {\sin x \ne 0}\\ {\sin 2x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x > 0(*)$

$\begin{array}{l} (3) \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right){\cos ^2}x + \left( {\sin x + \cos x} \right){\sin ^2}x = \sqrt {2\sin 2x} \\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt {2\sin 2x} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x + \cos x > 0{\rm{ (3}}{\rm{.1)}}}\\ {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} = 2\sin 2x{\rm{ (3}}{\rm{.2)}}} \end{array}} \right. \end{array}$

Giải (3.2): $\sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

Kiểm tra điều kiện (3.1)

$\begin{array}{l} \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \sqrt 2 \cos \left( {k\pi } \right)\\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 {\rm{ khi }}k = 2l}\\ { - \sqrt 2 {\rm{ khi }}k = 2l + 1} \end{array}} \right. \end{array}$

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của (3) là $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi (k\in\mathbb{Z})$

VD4: Giải phương trình: $\sin x + \sqrt 3 \cos x + \sqrt {\sin x + \sqrt 3 \cos x} = 2 (4)$

Giải:

Đặt: $t = \sqrt {\sin x + \sqrt 3 \cos x}$

Ta có: $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$

Suy ra: $0 \le t \le 2$

Phương trình trở thành: ${t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = - 2(loai)} \end{array}} \right.$

Với: $t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\sin x + \sqrt 3 \cos x} = 1 \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\ {x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\ {x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \end{array}} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (4) là: $x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

VD5: Giải phương trình: $\cos 2x = \sqrt {1 + \tan x} .{\cos ^2}x(5)$

Giải:

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x \ne 0}\\ {\tan x \ge - 1} \end{array}} \right.(*)$

Đặt $t=tanx$

Khi đó:

$\cos 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}},{\rm{ }}{\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {t^2}}}$

Khi đó phương trình 5 trở thành:

$\begin{array}{l} \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \sqrt {1 + t} .\frac{1}{{1 + {t^2}}} \Leftrightarrow 1 - {t^2} = \sqrt {1 + t} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {t^2} \ge 0{\rm{ }}}\\ {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2} = 1 + t} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| t \right| \le 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + t = 0{\rm{ }}}\\ {\left( {1 - {t^2}} \right)\left( {1 + t} \right) = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| t \right| \le 1{\rm{ }}}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + t = 0{\rm{ }}}\\ {{t^3} - {t^2} - t = 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| t \right| \le 1{\rm{ }}}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1{\rm{ }}}\\ {t = 0{\rm{ }}}\\ {t = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = 0\\ t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

+ Với $t = - 1 \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in\mathbb{Z}$

+ Với $t = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

+ Với $t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \tan x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Kết hợp với (*) nghiệm của (5) là:

$x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = k\pi ;x = \alpha + k\pi \left( {voi\,\tan \alpha = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)(k\in\mathbb{Z})$

VD6: Giải phương trình: $\sqrt[3]{{2 - \tan x}} + \sqrt {\tan x - 1} = 1$ (6)

Giải:

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x \ne 0{\rm{ }}}\\ {\tan x - 1 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \tan x \ge 1(*)$

Đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \sqrt[3]{{2 - \tan x}}}\\ {v = \sqrt {\tan x - 1} } \end{array}} \right.,{\rm{ }}v \ge 0$ . Khi đó: ${u^3} + {v^2} = 1$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u^3} + {v^2} = 1{\rm{ }}\left( {1'} \right)}\\ {u + v = 1{\rm{ }}\left( {2'} \right)} \end{array}} \right.$

Thay (2') vào (1') ta có: ${u^3} + {\left( {1 - u} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 2u = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = 0{\rm{ }}}\\ {u = 1{\rm{ }}}\\ {u = - 2} \end{array}} \right.$

+ Với $u = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{2 - \tan x}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 2 = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in\mathbb{Z}$

+ Với $u = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{2 - \tan x}} = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in\mathbb{Z}$

+ Với $u = - 2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{2 - \tan x}} = - 2 \Leftrightarrow \tan x = 10 = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Kết hợp (*) nghiệm của (6) là: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = \alpha + k\pi ;x = \beta + k\pi \,(voi\,\tan \alpha = 2,\tan \beta = 10)\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

Link tải file: https://drive.google.com/file/d/0B8zKIVrD5quOekxlRjJvSDJhR0E/view?usp=sharing

(Mod Toán)

Phương trình lượng giác - Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU