Phương trình lượng giác-Phần 6: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

22/08/2016 17:25

» Phương trình lượng giác - Phần 1: Những vấn đề lý thuyết cần nhớ và các phương trình lượng giác cơ bản
» Phương trình lượng giác - Phần 2: Một số phương trình lượng giác mẫu mực
» Phương trình lượng giác - Phần 3: Một số phương trình lượng giác mẫu mực (tt)
» Phương trình lượng giác - Phần 4: Một số phương trình lượng giác mẫu mực (tt)
» Phương trình lượng giác-Phần 5: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ
» Phương trình lượng giác - Phần 6: Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

Bài viết hướng dẫn cách xử lý khi gặp phương trình lượng giác có chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa giá trị tuyệt đối, đi kèm là những ví dụ minh họa.

I. Các bước thực hiện

Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
Chọn lựa phương pháp thực hiện thích hợp
Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình
Một số phương pháp khử dấu trị tuyệt đối

II. Phương pháp giải sử dụng định nghĩa

$\left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a,\,neu\,a \ge 0}\\ { - a,\,neu\,a < 0} \end{array}} \right.$

Dạng 1:

$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x) \Leftrightarrow \left[ {f(x) - g(x)} \right]\left[ {f(x) + g(x)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x){\rm{ (2)}}}\\ {f(x) = - g(x){\rm{ (3)}}} \end{array}} \right.$

+ Giải và biện luận (2)

+ Giải và biện luận (3)

+ Kết luận (tập nghiệm của (1) là hợp của hai tập nghiệm (2),(3)).

Dạng 2:

$\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) \ge 0{\rm{ }}}\\ {{f^2}(x) = {g^2}(x)} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) \ge 0{\rm{ }}}\\ {f(x) = \pm g(x)} \end{array}} \right.{\rm{ (I)}}$ hoặc $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) \ge 0{\rm{ }}}\\ {f(x) = g(x)} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) < 0{\rm{ }}}\\ {f(x) = g(x)} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.{\rm{ (II)}}$

+ Lựa chọn hướng biến đổi về (I) hoặc (II), rồi thực hiện việc giải và biện

luận nó

+ Kết luận

III. Một số ví dụ minh họa

VD1: Giải phương trình: $3\cos x + 2\left| {\sin x} \right| = 2$ (1)

Giải:

$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow 2\left| {\sin x} \right| = 2 - 3\cos x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 3\cos x \ge 0{\rm{ }}}\\ {4{{\sin }^2}x = {{\left( {2 - 3\cos x} \right)}^2}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x \le \frac{2}{3}{\rm{ }}}\\ {13{{\cos }^2}x - 12\cos x = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x \le \frac{2}{3}}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 0}\\ {\cos x = \frac{{12}}{{13}}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in\mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (1) là $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

VD2: Giải phương trình: $\left| {\sin x - \cos x} \right| + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 2 (2)$

Giải:

$\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow \left| {\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + \left| {\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + \left| {c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) + \left| {2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| { - \cos 2x} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x = 1{\rm{ }}}\\ {\cos 2x = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (2) là $x = \frac{{k\pi }}{2},k\in\mathbb{Z}$

VD3: Giải phương trình $\left| {\cot x} \right| = \tan x + \frac{1}{{\sin x}} (2)$

Giải:

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tan x + \frac{1}{{\sin x}} \ge 0{\rm{ (3}}{\rm{.1)}}}\\ {{{\cot }^2}x = {{\left( {\tan x + \frac{1}{{\sin x}}} \right)}^2}{\rm{ (3}}{\rm{.2)}}} \end{array}} \right.$

Giải (3.2):

$\begin{array}{l} (3.2) \Leftrightarrow {\cot ^2}x = {\tan ^2}x + \frac{2}{{\cos x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 + \frac{2}{{\cos x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{2}{{\cos x}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}} + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\ {x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} \right.,k \in\mathbb{Z} \end{array}$

Kiểm tra điều kiện (3.1):

+ Với $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ ta được:

$\tan x + \frac{1}{{\sin x}} = \tan \left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) + \frac{1}{{\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right)}} = \sqrt 3 + \frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0$

Do đó họ nghiệm này bị loại.

+ Với $x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ , ta được:

$\begin{array}{l} \tan x + \frac{1}{{\sin x}} = \tan \left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) + \frac{1}{{\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right)}}\\ = \sqrt 3 - \frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} > 0 \end{array}$

Do đó họ nghiệm này thỏa (3.1)

So với điều kiện xác định ta có nghiệm của (3) là:

$x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

(Mod Toán)

Phương trình lượng giác-Phần 6: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU