Phương trình lượng giác - Phần 6: Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

21/08/2016 10:31

» Phương trình lượng giác - Phần 1: Những vấn đề lý thuyết cần nhớ và các phương trình lượng giác cơ bản
» Phương trình lượng giác - Phần 2: Một số phương trình lượng giác mẫu mực
» Phương trình lượng giác - Phần 3: Một số phương trình lượng giác mẫu mực (tt)
» Phương trình lượng giác - Phần 4: Một số phương trình lượng giác mẫu mực (tt)
» Phương trình lượng giác-Phần 5: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Dùng các công thức biến đổi lượng giác, hệ thức cơ bản, nhóm các hạng tử, chia đa thức,….để đưa phương trình cần giải về dạng tích các phương trình cơ bản, phương trình đơn giản như phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình đối xứng, phương trình đẳng cấp,…..

$A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0}\\ {B = 0}\\ {C = 0} \end{array}} \right.$

1. Mối liên quan giữa các biểu thức:

$\begin{array}{l} 1 + \sin 2x = {(\sin x + \cos x)^2}\\ \cos 2x = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)\\ 1 + \tan x = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}\\ 1 + \cot x = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x}} \end{array}$

Có thừa số chung là: $sinx+cosx$

b) $1 - \sin 2x;{\rm{ }}\cos 2x;{\rm{ }}1 - \tan x;{\rm{ }}1 - \cot x$

Có thừa số chung là: $sinx-cosx$

c) $sin^2x;$ $tan^2x$

Có thừa số chung là: $(1-cosx)(1+cosx)$

d) $cos^2x;$ $cot^2x$

Có thừa số chung là: $(1-sinx)(1+sinx)$

2. Một số ví dụ:

VD1: Giải phương trình:

$2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0 (1)$

Giải:

$\begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {1 + \sin x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left[ {1 + 2\sin x\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left[ {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} + 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \cos x = 0{\rm{ }}}\\ {\sin x + \cos x = 0{\rm{ }}}\\ {\sin x + \cos x + 2 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 1{\rm{ }}}\\ {\tan x = - 1{\rm{ }}}\\ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \,(loai)} \end{array}} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} + \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in Z\\ + \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in Z \end{array}$

Vậy nghiệm của (1) là:

$x = k2\pi ;x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,(k\in\mathbb{Z})$

VD2: Giải phương trình:

${\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x(2)$

Giải:

$\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 6x}}{2} - \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = \frac{{1 - \cos 10x}}{2} - \frac{{1 + \cos 12x}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x \Leftrightarrow 2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos 11x - \cos 7x} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2\cos x\sin 9x\sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 0}\\ {\sin 9x = 0}\\ {\sin 2x = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\ {x = \frac{{k\pi }}{9}{\rm{ }}}\\ {x = \frac{{k\pi }}{2}{\rm{ }}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{k\pi }}{9}}\\ {x = \frac{{k\pi }}{2}} \end{array}} \right.,k \in\mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (2) là:

$x = \frac{{k\pi }}{9};x = \frac{{k\pi }}{2},(k\in\mathbb{Z})$

VD3: Giải phương trình:

$\cos \frac{x}{2}\cos x\cos \frac{{3x}}{2} - \sin \frac{x}{2}\sin x\sin \frac{{3x}}{2} = \frac{1}{2}(3)$

Giải:

$\begin{array}{l} (3)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos x} \right)\cos x + \frac{1}{2}\left( {\cos 2x - \cos x} \right)\sin x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x\cos x + {\cos ^2}x + \cos 2x\sin x - \cos x\sin x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 2x\cos x + 1 - {\sin ^2}x + \cos 2x\sin x - \cos x\sin x = 1\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\cos 2x - \left( {\cos x + \sin x} \right)\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos 2x - \sin x} \right) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x + \sin x = 0}\\ {\cos 2x - \sin x = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tan x = - 1{\rm{ }}}\\ {\cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}}\\ {2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi {\rm{ }}}\\ {2x = - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\ {x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\ {x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi } \end{array}} \right.,k \in\mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (3) là:

$x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3};x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

VD4: Giải phương trình:

$2\tan x + \cot 2x = 2\sin 2x + \frac{1}{{\sin 2x}} (4)$

Giải:

Điều kiện:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\tan x = 2\sin 2x + \frac{{1 - \cos 2x}}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow 2\tan x = 2\sin 2x + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}} \Leftrightarrow 2\tan x = 2\sin 2x + \tan x\\ \Leftrightarrow \tan x = 2\sin 2x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 4\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - 4{{\cos }^2}x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = 0(loai)}\\ {{{\cos }^2}x = \frac{1}{4}} \end{array}} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} {\cos ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi {\rm{ }}}\\ {2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}}\\ {x = - \frac{\pi }{3} + k\pi } \end{array}} \right.,k \in\mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình (4) là:

$x = \frac{\pi }{3} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

Link tải file: https://drive.google.com/file/d/0B8zKIVrD5quOSk9lUDBPcVJ4Nmc/view?usp=sharing

(Mod Toán)

Phương trình lượng giác - Phần 6: Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU