Phương trình lượng giác - Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

23/08/2016 07:19

Bài viết giới thiệu cách giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách đặt ẩn phụ và sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối.

I. Lý thuyết

1. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

+ Để loại bỏ dấu trị tuyệt đối trong phương trình ta lựa chọn việc đặt ẩn phụ cho biểu thức chứa trị tuyệt đối.

+ Nếu biểu thức có chứa:

$\left| {\sin x} \right|$ và ${\sin ^{2k}}x$ ,ta đặt $t = \left| {\sin x} \right|$ , điều kiện $0 \le t \le 1$ .
$\left| {\cos x} \right|$ và ${\cos ^{2k}}x$ ,ta đặt $t = \left| {\cos x} \right|$ , điều kiện $0 \le t \le 1$ .
$\left| {\tan x} \right|$ và ${\tan ^{2k}}x$ ,ta đặt $t = \left| {\tan x} \right|$ , điều kiện $t \ge 0$ .
$\left| {\cot x} \right|$ và ${\cot ^{2k}}x$ , ta đặt $t = \left| {\cot x} \right|$ , điều kiện $t \ge 0$ .
$\left| {\sin x \pm \cos x} \right|$ và $\sin x\cos x$ ,ta đặt $t = \left| {\sin x \pm \cos x} \right|$ , điều kiện $0 \le t \le \sqrt 2$ .
$\left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|$ . và ${\sin ^{2k}}x$ ,ta đặt $t = \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|$ , điều kiện $1 \le t \le \sqrt 2$ .
$\left| {\tan x + \cot x} \right|$ và ${\tan ^k}x + {\cot ^k}x$ , ta đặt $t = \left| {\tan x + \cot x} \right|$ , điều kiện $t \ge 2$ .
$\left| {\tan x - \cot x} \right|$ và ${\tan ^k}x + {\cot ^k}x$ , ta đặt $t = \left| {\tan x - \cot x} \right|$ , điều kiện $t \ge 0$ .

2. Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối

$\begin{array}{l} \left| a \right| = a \Leftrightarrow a \ge 0\\ \left| a \right| = - a \Leftrightarrow a < 0\\ \left| {a + b} \right| = \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow a.b \ge 0\\ \left| a \right| + \left| b \right| = a + b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ge 0}\\ {b \ge 0} \end{array}} \right.\\ \left| a \right| + \left| b \right| = a - b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ge 0}\\ {b \le 0} \end{array}} \right.\\ \left| {a - b} \right| = \left| a \right| - \left| b \right| \Leftrightarrow b(a - b) \ge 0 \end{array}$

Các bước giải:

Đặt điều kiện cho các biểu thức trong phương trình.
Đưa phương trình về các tính chất đã biết.
Giải phương trình nhận được.
Kết luận.

II. Một số bài tập ví dụ:

1. Giải phương trình: $\left| {\cos 2x} \right| + \left| {\sin x} \right| = 1(1)$

Giải:

$(1) \Leftrightarrow \left| {1 - 2{{\sin }^2}x} \right| + \left| {\sin x} \right| = 1$

Đặt: $t = \left| {\sin x} \right|$ , điều kiện: $0 \le t \le 1$

Khi đó phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} \left| {1 - 2{t^2}} \right| + t = 1 \Leftrightarrow \left| {1 - 2{t^2}} \right| = 1 - t \Leftrightarrow {\left( {1 - 2{t^2}} \right)^2} = {\left( {1 - t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{t^4} - 5{t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow t\left( {4{t^3} - 5t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0{\rm{ }}}\\ {t = \frac{1}{2}{\rm{ }}}\\ {t = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}(loai)} \end{array}} \right. \end{array}$

+ Với: $t = 0 \Leftrightarrow \left| {\sin x} \right| = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

+ Với:

$\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {\sin x} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\ {2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{\pi }{6} + k\pi }\\ {x = - \frac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z} \end{array}$

Vậy nghiệm của (1) là: $x = k\pi ,x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

2. Giải phương trình: $\left| {\cos x - \sin x} \right| - \cos x\sin x = 1(2)$

Giải:

Đặt $t = \left| {\cos x - \sin x} \right|,{\rm{ }}0 \le t \le \sqrt 2$

Khi đó: $\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}$

$(2) \Leftrightarrow t - \frac{{1 - {t^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1{\rm{ }}}\\ {t = - 3(loai)} \end{array}} \right.$

Với:

$\begin{array}{l} t = 1 \Leftrightarrow \left| {\cos x - \sin x} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 1 - \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của (2) là: $x = \frac{{k\pi }}{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

3. Giải phương trình: $\sqrt {2 + \cos x + \sqrt 3 \sin 2x} = \sin x + \sqrt 3 \cos x(3)$

Giải:

$\begin{array}{l} (3) \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {1 + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right)} = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {2\left[ {1 + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]} = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right| = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} + k2\pi \le x - \frac{\pi }{6} \le \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le x \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in\mathbb{Z} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là: $- \frac{\pi }{3} + k2\pi \le x \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$

4. Giải phương trình:

$\left| {2\cos x - 1} \right| + \left| {2\sin x - 1} \right| = 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)(4)$

Giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\left( {\cos x - \sin x} \right)\\ = \left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {1 - 2\sin x} \right) \end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l} (4) \Leftrightarrow \left| {2\cos x - 1} \right| + \left| {2\sin x - 1} \right| = \left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {1 - 2\sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\cos x - 1 \ge 0}\\ {1 - 2\sin x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x \ge \frac{1}{2}}\\ {\sin x \le \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le x \le \frac{\pi }{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của (4) là: $- \frac{\pi }{3} + k2\pi \le x \le \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$ .

(Mod Toán)

Phương trình lượng giác - Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU