Biện luận nghiệm phương trình lượng giác chứa tham số

26/08/2016 15:56

» Phương trình lượng giác - Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)
» Tổng hợp phương trình lượng giác trong các đề thi từ năm 2002 đến nay
» Hình học không gian - P1: Các công thức đã học ở lớp 9-10 cần nhớ
» Hình học không gian - P.2 Tổng hợp lý thuyết lớp 11
» Phương trình lượng giác - Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức
» Hình học không gian - P3: Các công thức tính thể tích

Biện luận nghiệm của phương trình lượng giác chứa tham số là một dạng toán khó. Bài viết giới thiệu hai cách làm phổ biến với dạng toán này: thứ nhất đưa về phương trình lượng giác cơ bản, cách thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Biện luận nghiệm của phương trình lượng giác chứa tham số là một dạng toán khó. Bài viết giới thiệu hai cách làm phổ biến với dạng toán này: thứ nhất đưa về phương trình lượng giác cơ bản, cách thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Mời các em tham khảo bài viết sau để trang bị cho mình một số kĩ năng để làm dạng toán này:

1. Đưa phương trình lượng giác có chứa tham số về dạng phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp

+ Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác

+ Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Định m để phương trình $({m^2} - 3m + 2)c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = m(m - 1)(1)$ có nghiệm

Giải:

$(1) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right){\cos ^2}x = m\left( {m - 1} \right)(1')$ Khi

Khi m=1: (1) Luôn đúng $\forall x \in R$

Khi m=2: (1) Vô nghiệm

Khi $m \ne 1;m \ne 2$

$(1')\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){\cos ^2}x = m \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{m}{{m - 2}}{\rm{ (2)}}$

Khi đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi $0 \le \frac{m}{{m - 2}} \le 1 \Leftrightarrow m \le 0$

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi: $m \le 0,{\rm{ }}m = 1$

Bài 2: Định m để phương trình $m{\cos ^2}x - 4\sin x\cos x + m - 2 = 0 (2)$ có nghiệm trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$

Giải:

Với $x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ thì $\cos x \ne 0$ nên chia hai vế của (2) cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$m - 4\tan x + \left( {m - 2} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){\tan ^2}x - 4\tan x + 2m - 2 = 0{\rm{ }}\left( {2'} \right)$

Đặt $t = \tan x{\rm{ }}{\rm{, }}t \in \left( {0;1} \right)$

Khi đó: $\left( {2'} \right) \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){t^2} - 4t + 2m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow m\left( {{t^2} + 2} \right) = 2{t^2} + 4t + 2 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{t^2} + 2t + 1} \right)}}{{{t^2} + 2}} = m$

Giả sử: $g\left( t \right) = \frac{{2\left( {{t^2} + 2t + 1} \right)}}{{{t^2} + 2}}$

$\Rightarrow g'\left( t \right) = \frac{{ - 4\left( {{t^2} - t - 2} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{4\left( {2 - t} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)$

$\Rightarrow g\left( t \right)$ tăng trên khoảng (0;1)

$\Rightarrow g\left( t \right) = m$ có nghiệm $t \in \left( {0;1} \right)$ $\Leftrightarrow m \in \left( {g(0);g(1)} \right) \equiv \left( {1;2} \right)$

Vậy: $m \in \left( {1;2} \right)$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

2. Biện luận và giải phương trình lượng giác có chứa tham số bằng phương pháp khảo sát hàm số

Giả sử phương trình lượng giác phụ thuộc m có dạng: $g(x,m) = 0(1)$ . Định m để phương trình (1) có nghiệm $x \in D$

Phương pháp

Đặt ẩn phụ $t = \varphi (x)$ , điều kiện của t
Chuyển điều kiện của $x \in D$ sang $t \in T$
Đưa (1) về dạng $f(t) = h(m){\rm{ (2)}}$
Tính $f'(t)$ , lập bảng biến thiên
(1) có nghiệm $x \in D$ khi và chỉ khi (2) có nghiệm $t \in T$ khi và chỉ khi $y = h(m)$ có điểm chung với $y = f(t)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị của m.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Tìm những giá trị của m để phương trình: $2{\sin ^2}x - 6\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x + m = 0(1)$ có nghiệm

Giải:

$(1)\Leftrightarrow 2\frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} - 3\sin 2x - 3\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} + m = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 - 2\cos 2x - 6\sin 2x - 3 - 3\cos 2x + 2m = 0\\ \Leftrightarrow 6\sin 2x + 5\cos 2x = 2m - 1{\rm{ (1')}} \end{array}$

Khi đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi (1') có nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 36 + 25 \ge {\left( {2m - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - \sqrt {61} \le 2m - 1 \le \sqrt {61} \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {61} }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt {61} }}{2} \end{array}$

Vậy: $\frac{{1 - \sqrt {61} }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt {61} }}{2}$ thì phương trình (1) có nghiệm.

Bài 2: Định m để phương trình: $4({\sin ^4}x + {\cos ^4}x) - 4({\sin ^6}x + {\cos ^6}x) - {\sin ^2}4x = m(2)$ có nghiệm

Giải:

$$(2) \Leftrightarrow 4\left( {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - 4\left( {1 - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - {\sin ^2}4x = m$

$\Leftrightarrow 4\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right) - 4\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right) - {\sin ^2}4x = m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}2x - {\sin ^2}4x = m\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 4x} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right) = m\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}4x - \frac{1}{2}\cos 4x - \frac{1}{2} = m{\rm{ }}(2') \end{array}$