Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến cực trị hàm số

04/09/2016 11:25

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam - Phương trình thuần nhất
» Những lợi ích của việc luyện thi trực tuyến
» Giải bất phương trình bậc hai-bậc ba một ẩn bằng máy tính Casio fx 570VN PLUS
» Những lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
» Sai lầm thường gặp khi xét tính đơn điệu của hàm số

Sau khi giới thiệu một số sai lầm khi Khảo sát tính đơn điệu hàm số, hôm nay xin giới thiệu đến các em các sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến cực trị hàm số.

Bài toán 1:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + x - 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Bài giải sai:

+) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ .

+) Ta có : $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2mx + 1$ .

+) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0}\\ {\Delta ' < 0} \end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 > 0}\\ {{m^2} - 3 < 0} \end{array}} \right.$

$\Rightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3$

Phân tích: Chẳng hạn, hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ , nhưng $f'\left( x \right) = 3{x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ , dấu "=" xảy ra chỉ tại $x = 0$ .

Nhớ rằng: nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ , $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ .

Lời giải đúng là:

+) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ .

+) Ta có : $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2mx + 1$ .

+) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0}\\ {\Delta ' \le 0} \end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 > 0}\\ {{m^2} - 3 \le 0} \end{array}} \right.$

$\Rightarrow - \sqrt 3 \le m \le \sqrt 3$

Bài toán 2:

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = m{x^4}$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ ?

Bài giải sai:

+) Ta có: $f'\left( x \right) = 4m{x^3}$ và $f''\left( x \right) = 12m{x^2}$

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 0 \right) = 0}\\ {f''\left( 0 \right) < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4m.0 = 0}\\ {12m.0 < 0} \end{array}} \right.$ hệ vô nghiệm

+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .

Phân tích:

Chẳng hạn, với $m = - 1$ , hàm số có dạng $y = f\left( x \right) = - {x^4}$ .

Ta có: $y' = f'\left( x \right) = - 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

Nhớ rằng, nếu ${x_0}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( {{x_0}} \right) = 0}\\ {f''\left( {{x_0}} \right) < 0} \end{array}} \right. \Rightarrow {x_0}$ là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng. Vì nếu ${x_0}$ là điểm cực đại thì vẫn có thể $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$ . Lí do là điều kiện $f''\left( {{x_0}} \right) < 0$ chỉ là điều kiện đủ để hàm số $g\left( x \right) = f'\left( x \right)$ nghịch biến trong lân cận $\left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right),h > 0$ , khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( x \right) > f'\left( {{x_0}} \right) = 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)}\\ {f'\left( x \right) < f'\left( {{x_0}} \right) = 0,\forall x \in \left( {{x_0};{x_0} + h} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow {x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải đúng là:

+) Ta có: $f'\left( x \right) = 4m{x^3}$

+) Nếu $m = 0$ thì $f'\left( x \right) = 0$ . Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng $y = f\left( x \right) = 0$ nên không cực trị.

+) Nếu $m \ne 0$ thì $f'\left( x \right) = 4m{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Với $m > 0$ ta có bảng biến thiên:

Với $m < 0$ ta có bảng biến thiên:

+) Vậy với $m < 0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x=0$ .

Bài toán 3:

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^4} + m{x^3} + 1$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

Bài giải sai:

+) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

+) Ta có: $f'\left( x \right) = 4{x^3} + 3m{x^2}$ và $f''\left( x \right) = 12{x^2} + 6mx$

+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 0 \right) = 0}\\ {f''\left( 0 \right) > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{4.0}^3} + 3m{{.0}^2} = 0}\\ {{{12.0}^2} + 6m.0 > 0} \end{array}} \right.$ hệ trên vô nghiệm m.

+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ .

Phân tích:

Chẳng hạn, với $m = 0$ , hàm số có dạng $y = f\left( x \right) = {x^4} + 1$

Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ .

Lời giải đúng là:

+) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

+) Ta có: $f'\left( x \right) = 4{x^3} + 3m{x^2} = {x^2}\left( {4x + 3m} \right)$

+) Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {4x + 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = - \frac{{3m}}{4}} \end{array}} \right.$ trong đó $x = 0$ là nghiệm bội bậc chẵn