Những lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

03/09/2016 15:06

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam - Phương trình thuần nhất
» Những lợi ích của việc luyện thi trực tuyến
» Giải bất phương trình bậc hai-bậc ba một ẩn bằng máy tính Casio fx 570VN PLUS

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, một dạng toán luôn "chắc suất" trong các đề thi. Chỉ cần nắm chắc các bước thực hiện thì việc lấy 1 điểm câu hỏi này không có gì quá khó khăn. Bài viết giới thiệu một số vẫn đề cần lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số để các em có thể vẽ đồ thị đẹp hơn, cũng như tránh mất điểm vì những sai sót không đáng có.

CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I- SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

1. Tập xác định.

2. Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm y’

+ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( $x \to \pm \infty$ ), các giới hạn có kết quả là vô cực ( $= \pm \infty$ ) và tìm tiệm cận nếu có.

2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

3. Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)

- Giao của đồ thị với trục Ox: $y = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow x = ? \Rightarrow (?;0)$

- Các điểm CĐ; CT nếu có.

Chú ý:

-Nếu nghiệm bấm máy tính được thì lấy, nghiệm lẻ giải tay được thì phải giải ra- chẳng hạn phương trình bậc 2, còn nghiệm lẽ mà không giải được thì ghi ra giấy nháp cho biết giá trị để khi vẽ cho chính xác- không ghi trong bài- chẳng hạn hàm bậc 3)

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Điều này sẽ cụ thể hơn khi đi vẽ từng đồ thị hàm số.

II- SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)$

1. Tập xác định. D=R

2. Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm: $y' = 3{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2bx + c}}$

+ $y' = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2bx + c = 0}}$ ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải $\Delta ;\Delta '$ nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( $x \to \pm \infty$ )

(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)

2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

3. Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)

- Giao của đồ thị với trục Ox: $y = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + cx + d}} = 0 \Leftrightarrow x = ?$

- Các điểm CĐ; CT nếu có.

Chú ý:

-Nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì lấy, còn nếu được 1 nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Hàm bậc ba nhận điểm $I({x_0};{y_0})$ làm tâm đối xứng.

+ Trong đó: x₀ là nghiệm của phương trình y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)

+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của đồ thị hàm số.

4. Các dạng đồ thị hàm số bậc ba

III. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$

1. Tập xác định. D=R

2. Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y' = 4{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2bx}}$

+ Ta có:

$\begin{array}{l} y' = 0 \Leftrightarrow 4{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2bx = 0}} \Leftrightarrow {\rm{2x(2a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + b) = 0}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {\rm{2a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + b = 0}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = \frac{{ - b}}{{2{\rm{a}}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow ... \end{array}$

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( $x \to \pm \infty$ ). (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.)

2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

3. Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)

- Giao của đồ thị với trục Ox: $y = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + c}} = 0 \Leftrightarrow x = ? \Rightarrow (?;0)$

- Các điểm CĐ; CT nếu có.

Chú ý:

-Giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt bậc 2 nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Ta có: $y( - x) = {\rm{a( - x}}{{\rm{)}}^{\rm{4}}}{\rm{ + b( - x}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}{\rm{ + c = a}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + c = y(x)}}$ . Nên đồ thị hàm số đã cho là hàm số chẵn. Đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.

4. Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương

IV. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)$

1. Tập xác định. $D = R\backslash \left\{ {\frac{{ - d}}{c}} \right\}$

2. Sự biến thiên

2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y' = \left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{a{\rm{d - bc}}}}{{{{{\rm{(cx + d)}}}^{\rm{2}}}}}$

+ y’ không xác định khi $x = \frac{{ - d}}{c}$ ; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi $x \ne \frac{{ - d}}{c}$

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng $( - \infty ; - \frac{d}{c})$ và $(-\frac{d}{c}; + \infty )$

2.2 Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị

2.3 Tiệm cận:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = \frac{a}{c}$ nên $y = \frac{a}{c}$ là TCN

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ - }} \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = ( \pm )\infty$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ + }} \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = ( \pm )\infty$

Do đó $x = \frac{{ - d}}{c}$

2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

3. Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= $\frac{b}{d}$ => (0; $\frac{b}{d}$ )

- Giao của đồ thị với trục Ox: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = 0 \Rightarrow ax + b = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{a} \Rightarrow (\frac{{ - b}}{a};0)$

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm $I(\frac{{ - d}}{c};\frac{a}{c})$ là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

4. Các dạng đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)$

(Mod Toán)

Những lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU