Sai lầm thường gặp khi xét tính đơn điệu của hàm số

03/09/2016 19:47

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam - Phương trình thuần nhất
» Những lợi ích của việc luyện thi trực tuyến
» Giải bất phương trình bậc hai-bậc ba một ẩn bằng máy tính Casio fx 570VN PLUS
» Những lưu ý khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Trong toán học có những sai lầm tưởng chừng như là rất nhỏ nhưng không phải vậy, vì chỉ một sai lầm thôi nó cũng ảnh hưởng đên kết quả bài toán và khiến các em mất đi những điểm số quí bào trong thi cử. Trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số cũng vậy, có những sai lầm học sinh rất hay mắc phải. Hy vọng bài viết sẽ giúp các em tránh được những lỗi sai này.

Bài toán 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$

Bài giải có sai lầm:

+) Tập xác định: $D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}$

+) Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D$

+) Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;-1} \right) \cup \left( {-1; + \infty } \right)$

Phân tích:

Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên tập $D$ thì với mọi ${x_1},{x_2} \in D$ ta có ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ .

Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy ${x_1} = - 2 \in D$ và ${x_2} = 2 \in D$ thì ${x_1} < {x_2}$ nhưng $f\left( {{x_1}} \right) = 3$ và $f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{3}$ .

Lời giải đúng:

Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ;-1} \right)$ và $\left( {-1; + \infty } \right)$ .

Bài toán 2:

Xét tính đơn điệu của hàm số $f\left( x \right) = x - 1 + \sqrt {4 - {x^2}}$

Bài giải có sai lầm:

+) Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

+) Ta có: $f'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow 4 - {x^2} = {x^2} \Rightarrow x = \pm \sqrt 2$

+) Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )$ và nghịch biến trên các khoảng $( - 2; - \sqrt 2 )$ và $(\sqrt 2 ;2)$ .

Phân tích:

Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây - $\sqrt 2$ không phải là điểm tới hạn của hàm số.

Mặt khác , đạo hàm không xác định tại $x = \pm 2$ .

Lời giải đúng là:

+) Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

+) Ta có: $f'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$

Đạo hàm không xác định tại $x = \pm 2$

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 0}\\ {4 - {x^2} = {x^2}} \end{array}} \right. \Rightarrow x = \sqrt 2$

+) Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[ { - 2;\sqrt 2 } \right)$ và nghịch biến trên nửa khoảng $\left( {\sqrt 2 ;2} \right]$ .

(Mod Toán)

Sai lầm thường gặp khi xét tính đơn điệu của hàm số

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU