Đề Thi TST 2015

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2015

Ngày thi thứ nhất

Bài 1: Gọi \(\alpha \)là nghiệm dương của phương trình \({x^2} + x = 5\) . Với số nguyên dương n nào đó, gọi\({c_0},{c_1},{c_2}.....,{c_n}\) là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức

\({c_0} + {c_1}\alpha + {c_2}{\alpha ^2} + .... + {c_n}{\alpha ^n} = 2015\)

a) Chứng minh rằng  \({c_0} + {c_1} + {c_2} + .... + {c_n} \equiv 2\bmod \left( 3 \right)\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \({c_0} + {c_1} + {c_2} + .... + {c_n}\)

Bài 2: Cho đường tròn (O) dây cung BC cố định và điểm A chạy trên (O). Gọi I, H lần lượt là trung điểm cạnh BC và trực tâm tam giác ABC, tia IH cắt (O) tại K, AH cắt BC tại D, KD cắt (O) tại M. Từ M vẽ đường vuông góc với BC cắt AI tại N

a) Chứng minh N thuộc đường tròn cố định

b) Đường tròn tiếp xúc với AK tại A và đi qua N cắt AB, AC tại P, Q. Gọi J là trung điểm PQ. Chứng minh rằng AJ qua điểm cố định.

Bài 3: Một số nguyên dương k có tính chất “t-m” nếu với mọi số nguyên dương a, tồn tại số nguyên dương n sao cho

\({1^k} + {2^k} + {3^k} + ...... + {n^k} \equiv a\bmod (m)\)

a) Tìm tất cả các số nguyên dương k có tính chất  \(t-20\) 

b) Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất  \(t - {20^{15}}\)

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy