ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2017-2018

       SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                     ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI  

         TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU                                          LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2017-2018

                  ĐỀ CHÍNH THỨC                                                           MÔN THI : TOÁN

                                                                                                    Thời gian làm bài : 180 phút

                                                                                                     Ngày thi: 03/10/2017

Bài 1.(4,0 điểm)
       a) Cho các số dương a, b, c thảo mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4\) . Chứng minh

                                           \(\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1\)
 
       b) Cho n là số nguyên dương, xét đa thức  \(P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + .... + {a_1}x + {a_0}\)có các hệ số là số thực. Biết rằng \(P\left( 0 \right);P\left( 1 \right);.....;P\left( n \right)\) đều là các số nguyên. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì \(P\left( m \right)\) nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2.(3,0 điểm)
Xét phương trình \(\frac{1}{{1\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {x + 2} \right)}} + ..... + \frac{1}{{n\left( {x + n} \right)}} = 1\) ( với n là số nguyên dương)
        a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên luôn có nghiệm  trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghiệm đó duy nhất (kí hiệu là \({x_n}\) )
        b) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)có giới hạn khi \(n \to + \infty \) và tính giới hạn đó.

Bài 3.(5,0 điểm) Cho \(\Delta ABC\)nhọn (AB <AC), nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi H và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và I trên cạnh BC. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm E khác A, đường thẳng DE cắt (O) tại F khác E. Hai đường thẳng BC, AF cắt nhau ở K.
        a) Chứng minh \(FI \bot EA\) và bốn điểm A, I, K, H cùng thuộc một nửa đường tròn.
        b) Đường thẳng EH cắt (O) tại L khác E, đường thẳng FL cắt BC ở J. Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại điểm F đi qua trung điểm của đoạn JK.

Bài 4.(4,0 điểm)
     a) Kí hiệu \({N^*}\) là tập hợp các số nguyên dương. Có bao nhiêu hàm số \(f:{N^*} \to {N^*}\) thỏa mãn               

\(f\left( 1 \right) = 1;f\left( {n + 2} \right)f\left( n \right) = {f^2}\left( {n + 1} \right) + 1\,\,\forall n \in {N^*}?\)
        b) Tìm tất cả các hàm số \(f:R \to R\) thỏa mãn  \(f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = f\left( x \right) + {x^2} + f\left( y \right)\,\,\forall x,y \in R\) 
Bài 5.(4,0 điểm)
        a) Tính số hoán vị \(f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);......;f\left( {2018} \right)\) của các số 1;2;....2018  sao cho biểu thức \(T = 1.f\left( 1 \right) + 2f\left( 2 \right) + .... + 2018f\left( {2018} \right)\)  nhận giá trị là số nguyên lẻ
        b) Trong cuộc thi vấn đáp gồm có m thí sinh và n giám khảo, trong đó m > 1; n > 3 và n không phải là bội của 3. Mỗi giám khảo sẽ đánh giấ từng thí sinh theo ba loại A, B, C. Biết rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho hai giám khảo bất kỳ có đánh giá giống nhau  ứng với k thí sinh. Chứng minh \(k \ge \frac{{m\left( {n - 2} \right)}}{{3n}}\)

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy