Đề Thi TST 2008

             ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2008
Ngày thi thứ nhất
Bài 1: Trong mặt phẳng cho góc xOy. Gọi M, N lần lượt là hai điểm lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy. Gọi d là đường phân giác góc ngoài của góc xOy và I là giao điểm của trung trực MN với đường thẳng d. Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên đường thẳng d sao cho IM = IN =IP = IQ, giả sử K là giao điểm của MQ và NP.
1. Chứng minh rằng K nằm trên một đường thẳng cố định.
2. Gọi \({d_1}\)là đường thẳng vuông góc với IM tại M và \({d_2}\) là đường thẳng vuông góc với IN tại N. Giả sử các đường thẳng  \({d_1}\), \({d_2}\) cắt đường thẳng d tại E, F. Chứng minh rằng các đường thẳng EN, FM và OK đồng quy.
Bài 2: Hãy xác định tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực \(P\left( x \right),Q\left( x \right),R\left( {x,y} \right)\)   thỏa mãn điều kiện:
Với mọi số thưc a, b mà \({a^m} - {b^2} = 0\), ta luôn có \(P\left( {R\left( {a,b} \right)} \right) = a\) và \(Q\left( {R\left( {a,b} \right)} \right) = b\)
Bài 3: Cho số nguyên \(n > 3\). Kí hiệu T là tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên. Một tập con S của T được gọi là tập khuyết trong T nếu S có tính chất : Tồn tại só nguyên dương c không vượt quá \(\frac{n}{2}\) sao cho với \({s_1},{s_2}\) là hai số bất kì thuộc S ta luôn có \(\left| {{s_1} - {s_2}} \right| \ne c\). Hỏi tập khuyết trong T có thể có tối đa bao nhiêu phần tử?

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy