Đề Thi TST 2009

                 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2009
Ngày thi thứ nhất
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\)và \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là các chân đường cao của tam giác ABC hạ từ các đỉnh A, B, C và các điểm đối xứng với \({A_1},{B_1},{C_1}\) qua trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.  Gọi \({A_3},{B_3},{C_3}\) lần lượt là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác  \(A{B_2}{C_2},\,B{C_2}{A_2},\,C{A_2}{B_2}\) với (O). Chứng minh rằng \({A_1}{A_3},\,{B_1}{B_3},\,{C_1}{C_3}\) đồng quy.
Bài 2: Cho đa thức \(P\left( x \right) = r{x^3} = q{x^2} + px + 1\) trong đó p, q, r là các số thực và \(r > 0\). Xét dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_1} = 1,\,{a_2} = - p,\,{a_3} = {p^2} - q\\ {a_{n + 3}} = - p.{a_{n + 2}} - q.{a_{n + 1}} - r.{a_n}\,,\,\,\,\,\,n \ge 0 \end{array} \right.\)
      
Chứng minh rằng: nếu đa thức  \(P\left( x \right)\)có một nghiệm thực duy nhất và không có nghiệm bội thì dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có vô số số âm.
Bài 3: Cho các số nguyên dương a, b sao cho a, b và ab đều không phải là số chính phương. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau:

\({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} - b{y^2} = 1\)

  \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} - b{y^2} = - 1\)

Có ít nhất một phườn trình không có nghiệm nguyên dương.

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy