Đề Thi TST 2014

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2014
Ngày thi thứ nhất 25/3/2014

Bài 1: Tìm tất cả các hàm số \(f:Z \to Z\)  thỏa mãn

\(f\left( {2m + f\left( m \right) + f\left( m \right)f\left( n \right)} \right) = n.f\left( m \right) + m\)  \(\forall m,n \in Z\)

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc\(Oxy\) , xét các điểm nguyên có tọa độ thuộc tập hợp sau

\(T = \left\{ {\left( {x;y} \right): - 20 \le x,y \le 20,\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)} \right\}\)

Tô màu các điểm thuộc T sao cho với mọi điểm có tọa độ\(\left( {x;y} \right) \in T\)   thì có đúng một trong hai điểm  \(\left( {x;y} \right)\) và  \(\left( { - x; - y} \right)\) được tô màu. Với mỗi cách tô như thế, gọi N là số các bộ  \(\left( {{x_1};{y_1}} \right)\,,\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)mà cả hai điểm này cùng được tô màu và

\({x_1} \equiv 2{x_2}\,,\,{y_1} \equiv 2{y_2}\left( {\bmod 41} \right)\)

Tìm tất cả các giá trị có thể của N.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung BC không chứa A của (O) lấy điểm D, gải sử CD cắt AB ở E và BD cắt AC ở F. Gọi (K) là đường tròn nằm trong tam giác EBD, tiếp xúc với EB, ED và tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi (L) là tâm đường tròn nằm trong tam giác FCD, tiếp xúc với FC, FD và tiếp xúc với đường tròn (O).

a) Gọi M là tiếp điểm của (K) với BE và N là tiếp điểm của (L) với CF. Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn đi qua một điểm cố định khi D di chuyển.

b) Đường thẳng qua M và song song với CE cắt AC ở P, đường thẳng qua N và song song với BF cắt AB ở Q. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP, ANQ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định khi D di chuyển

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy