Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2017

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy

Thứ  Ba, ngày 18 tháng 7  năm 2017

Bài 1. Với mỗi số nguyên \({a_0} > 1\), xét dãy số nguyên dương \({a_0},{a_1},{a_2},...........\) xác định bởi:

với mỗi số nguyên \(n \ge 0\)

Hãy xác định tất cả các số \({a_0}\) sao cho tồn tại số A mà \({a_n} = A\) với vô hạn số n.

Bài 2. Kí hiệu R là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số \(f:R \to R\) sao cho với mọi số thực \(x\) và \(y\)

\(f\left( {f\left( x \right)f\left( y \right)} \right) + f\left( {x + y} \right) = f\left( {xy} \right)\)

Bài 3. Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát \({A_0}\)của con thỏ và điểm xuất phát \({B_0}\) của cô thwoj săn trùng nhau. Sau \(n-1\) lượt chơi, con thỏ ở điểm \({A_{n - 1}}\) và cô thợ săn ở điểm \({B_{n - 1}}\). Ở lượt chơi thứ n, có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:

(i) Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm \({A_n}\) sao cho khoảng cách giữa \({A_{n - 1}}\) và \({A_n}\) bằng đúng 1.

(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm \({P_n}\), đảm bảo khoảng cách giữa \({P_n}\) và \({A_n}\) không lớn hơn 1.

(iii) Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm \({B_n}\) sao cho khoảng cách giữa \({B_{n - 1}}\) và \({B_n}\) bằng đúng 1.

Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau \(10^9\) lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá 100?

Language: Vietnamese                                                                               Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}

Chúc các em học tốt

                                                                           &am