Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2015

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy

Thứ Sáu, 10 tháng 7 năm 2015

Bài 1: Ta nói tập S gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng là tập cân đối  nếu với hai điểm phân biệt A và B tùy ý thuộc S, tồn tại điểm  C thuộc S sao cho AC = BC. Ta nói S là tập vô tâm nếu với ba điểm phân biệt A, B, C tùy ý thuộc S, không tồn tại điểm P thuộc S sao cho PA = PB = PC.

(a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 3\), tồn tại tập cân đối gồm n điểm.

(b) Hãy tìm tất cả các số nguyên\(n \ge 3\) sao cho tồn tại tập cân đối và vô tâm gồm n điểm.

Bài 2. Hãy tìm tất cả các bộ số nguyên dương \((a,b,c)\)sao cho mỗi số trong các số

\(ab-c, bc-a, ca-b\)

là lũy thừa của 2

(Lũy thừa của 2 là một số nguyên có dạng \(2^n\), với n là số nguyên không âm)

Bài 3. Cho tam giác ABC với AB > AC. Ký hiệu \(\Gamma \) là đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm và F là chân đường cao hạ từ A của tam giác đó. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm nằm trên \(\Gamma \) sao cho \(\angle HQA = {90^o}\), và gọi K là điểm nằm trên \(\Gamma \) sao cho \(\angle HKQ = {90^o}\). Giả sử rằng các điểm A, B, C, K và Q đôi một phân biệt, và nằm trên \(\Gamma \) theo thứ tự đó.

Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác KQH và FKM tiếp xúc với nhau.

Language: Vietnamese                                                                                                     Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                                                       Mỗi bài toán được cho tối da 7 điểm

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}

Chúc các em học tốt