Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2012

Thứ ba, 10/07/2012

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, Đường tròn bàng tiếp này tiếp xúc với cạnh BC tại M, với đường thẳng AB và AC tại K và L một cách tương ứng. Đường thẳng LM và BJ cắt nhau tại F, và đường thẳng KM và CJ cắt nhau tại G, S là giap điểm của đường thẳng AF và BC, và T là giao điểm của đường thẳng AG và BC.

Chứng minh rằng M là trung điểm của ST.

(Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC là đường tròn tiếp xúc với cạnh BC, với tía AB ở phần kép dài qua B, và với tía AC ở phần kéo dài qua C.)

Bài 2. Cho trước \(n \ge 3\) là một số nguyên, và \({a_2},{a_3},.....,{a_n}\) là các số thực dương thỏa mãn \({a_2}{a_3}.....{a_n} = 1\). Chứng minh rằng

\({\left( {1 + {a_2}} \right)^2}{\left( {1 + {a_3}} \right)^3}......{\left( {1 + {a_n}} \right)^n} > {n^n}\)

Bài 3: Trò chơi nói dối và  đoán là một trò chơi giữa hai người chơi A và B. Luật chơi dựa trên hai số nguyên dương k và n mà cả hai người chơi đều được biết trước.

Khi bắt đầu trò chơi. A chọn các số nguyên \(x\) và N với \(1 \le x \le N\). Người chơi A giữ bí mật số x và thông báo số N một cách trung thực cho người chơi B. Bây giờ B tìm cách nhận thông tin về số \(x\) bằng cách hỏi người chơi A các câu hỏi như sau: B xác định một tập hợp S các số nguyên dương tùy ý và hỏi A rằng liệu \(x\) có thuộc S. Người chơi B có thể hỏi bao nhiêu câu hỏi cũng được, và cũng có thể hỏi lại một câu hỏi nhiều lần, vào bất cứ lúc nào mà anh ta muốn. Người chơi A  phải trả lời mỗi câu hỏi của B ngay lập tức bằng " đúng" hoặc " sai", nhưng anh ta được phép nói dối nhiều lần một cách tùy ý. Sự hạn chế duy nhất ở đây là trong bất kỳ k+1 câu trả lời liên tiếp nào cũng phải có ít nhất một câu trả lời thật.

Sau khi B đã đặt nhiều câu hỏi như anh ta muốn, anh ta phải xác định một tập hợp X có không quá n số nguyên dương. Nếu \(x\) thuộc X thì B thắng cuộc; còn nếu ngược lại, anh ta thua cuộc. Chứng minh rằng:

1. Nếu \(n \ge {2^k}\), thì b có thể bảo đảm thắng cuộc.

2. Với tất cả số k đủ lớn, tồn tại \(n \ge 1,{99^k}\) sao cho B không thể thắng cuộc.

Language: Vietnamese                                                                             Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy