Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0989 627 405

Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2012

10/10/2017 15:49   7     1
Tóm tắt nội dung
Tải về

Dưới đây là đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2012, đề thi gồm 6 câu tự luận. Đề thi giúp các em rèn luyện và củng cố và nâng cao kiến thức. Các em cùng tham khảo nhé. Chúc các em học tốt.

Thứ ba, 10/07/2012

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, Đường tròn bàng tiếp này tiếp xúc với cạnh BC tại M, với đường thẳng AB và AC tại K và L một cách tương ứng. Đường thẳng LM và BJ cắt nhau tại F, và đường thẳng KM và CJ cắt nhau tại G, S là giap điểm của đường thẳng AF và BC, và T là giao điểm của đường thẳng AG và BC.

Chứng minh rằng M là trung điểm của ST.

(Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC là đường tròn tiếp xúc với cạnh BC, với tía AB ở phần kép dài qua B, và với tía AC ở phần kéo dài qua C.)

Bài 2. Cho trước \(n \ge 3\) là một số nguyên, và \({a_2},{a_3},.....,{a_n}\) là các số thực dương thỏa mãn \({a_2}{a_3}.....{a_n} = 1\). Chứng minh rằng

\({\left( {1 + {a_2}} \right)^2}{\left( {1 + {a_3}} \right)^3}......{\left( {1 + {a_n}} \right)^n} > {n^n}\)

Bài 3: Trò chơi nói dối và  đoán là một trò chơi giữa hai người chơi A và B. Luật chơi dựa trên hai số nguyên dương k và n mà cả hai người chơi đều được biết trước.

Khi bắt đầu trò chơi. A chọn các số nguyên \(x\) và N với \(1 \le x \le N\). Người chơi A giữ bí mật số x và thông báo số N một cách trung thực cho người chơi B. Bây giờ B tìm cách nhận thông tin về số \(x\) bằng cách hỏi người chơi A các câu hỏi như sau: B xác định một tập hợp S các số nguyên dương tùy ý và hỏi A rằng liệu \(x\) có thuộc S. Người chơi B có thể hỏi bao nhiêu câu hỏi cũng được, và cũng có thể hỏi lại một câu hỏi nhiều lần, vào bất cứ lúc nào mà anh ta muốn. Người chơi A  phải trả lời mỗi câu hỏi của B ngay lập tức bằng " đúng" hoặc " sai", nhưng anh ta được phép nói dối nhiều lần một cách tùy ý. Sự hạn chế duy nhất ở đây là trong bất kỳ k+1 câu trả lời liên tiếp nào cũng phải có ít nhất một câu trả lời thật.

Sau khi B đã đặt nhiều câu hỏi như anh ta muốn, anh ta phải xác định một tập hợp X có không quá n số nguyên dương. Nếu \(x\) thuộc X thì B thắng cuộc; còn nếu ngược lại, anh ta thua cuộc. Chứng minh rằng:

1. Nếu \(n \ge {2^k}\), thì b có thể bảo đảm thắng cuộc.

2. Với tất cả số k đủ lớn, tồn tại \(n \ge 1,{99^k}\) sao cho B không thể thắng cuộc.

Language: Vietnamese                                                                             Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy

 

 

 

 


TÀI LIỆU LIÊN QUAN

TÀI LIỆU XEM NHIỀU