Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2010

Thứ 4, 7/7/2010

Bài 1. Tìm tất cả các hàm \(f:R \to R\) sao cho đẳng thức

\(f\left( {\left\lfloor x \right\rfloor y} \right) = f\left( x \right)\left\lfloor {f\left( y \right)} \right\rfloor \)

thỏa mãn với mọi \(x,y \in R\).( Trong đó \(\left\lfloor z \right\rfloor \)ký hiệu số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng z.)

Bài 2. Giả sử I là tâm đường tròn nội tiếp cảu tam giác ABC và giả sử \(\Gamma \) là đường tròn ngoại tiếp cẩu nó. Giả sử đường thẳng AI cắt \(\Gamma \) tại D. Giả sử E là một điểm trên cung BDC và F là một điểm trên cạnh BC sao cho

\(\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC\)

Giả sử G là trung điểm của đoạn IF. Chứng minh rằng các đường thẳng DG và EI cắt nhau tại một điểm trên \(\Gamma \).

Bài 3. Giả sử N là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm \(g:N \to N\) sao cho

\(\left( {g\left( m \right) + n} \right)\left( {m + g\left( n \right)} \right)\)

là số chính phương với mọi \(m,n \in N\)

Language: Vietnamese                                                                                                       Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy